미적분 예제

$x^{2} \frac{d y}{d x} = 2 x y + 6$

단계 1

$\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변에서 $2 x y$ 를 뺍니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 2 x y = 6$

단계 1.2

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 2 x y = 6$ 의 각 항을 $x^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{- 2 x y}{x^{2}} = \frac{6}{x^{2}}$

단계 1.3

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{- 2 x y}{x^{2}} = \frac{6}{x^{2}}$

단계 1.3.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 x y}{x^{2}} = \frac{6}{x^{2}}$

단계 1.4

$x$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$- 2 x y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (- 2 y)}{x^{2}} = \frac{6}{x^{2}}$

단계 1.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (- 2 y)}{x \cdot x} = \frac{6}{x^{2}}$

단계 1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (- 2 y)}{x \cdot x} = \frac{6}{x^{2}}$

단계 1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{6}{x^{2}}$

단계 1.5

$\frac{- 2 y}{x}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{x} = \frac{6}{x^{2}}$

단계 1.6

$y$ 와 $\frac{- 2}{x}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = \frac{6}{x^{2}}$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = \frac{- 2}{x}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int \frac{- 2}{x} d x}$

단계 2.2

$\frac{- 2}{x}$ 를 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

단계 2.2.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

단계 2.2.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

단계 2.2.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

단계 2.2.5

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

단계 2.2.6

간단히 합니다.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{- 2 \ln (x)}$

단계 2.4

로그 멱의 법칙을 사용합니다.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

단계 2.5

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$x^{- 2}$

단계 2.6

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x^{2}}$

단계 3

각 항에 적분 인수 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 항에 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

단계 3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ 와 $\frac{d y}{d x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

단계 3.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

단계 3.2.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

단계 3.2.4

$\frac{2}{x}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

단계 3.2.5

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.1

$\frac{2 y}{x}$ 에 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

단계 3.2.5.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.2.1

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.2.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

단계 3.2.5.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

단계 3.2.5.2.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

단계 3.3

조합합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1 \cdot 6}{x^{2} x^{2}}$

단계 3.4

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1 \cdot 6}{x^{2 + 2}}$

단계 3.4.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1 \cdot 6}{x^{4}}$

단계 3.5

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{6}{x^{4}}$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = \frac{6}{x^{4}}$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int \frac{6}{x^{4}} d x$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{6}{x^{4}} d x$

단계 7

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

단계 7.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$x^{4}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

단계 7.2.2

${(x^{4})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

단계 7.2.2.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 \int x^{- 4} d x$

단계 7.3

멱의 법칙에 의해 $x^{- 4}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

단계 7.4

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1.1

$x^{- 3}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

단계 7.4.1.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 3}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

단계 7.4.2

간단히 합니다.

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C$

단계 7.4.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.3.1

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{2}} y = - 6 \frac{1}{3 x^{3}} + C$

단계 7.4.3.2

$- 6$ 와 $\frac{1}{3 x^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{- 6}{3 x^{3}} + C$

단계 7.4.3.3

$- 6$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.3.3.1

$- 6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{3}} + C$

단계 7.4.3.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.3.3.2.1

$3 x^{3}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{3 \cdot - 2}{3 (x^{3})} + C$

단계 7.4.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{3}} + C$

단계 7.4.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{- 2}{x^{3}} + C$

단계 7.4.3.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{x^{2}} y = - \frac{2}{x^{3}} + C$

단계 8

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

변수를 포함한 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

방정식의 양변에 $\frac{2}{x^{3}}$ 를 더합니다.

$\frac{1}{x^{2}} y + \frac{2}{x^{3}} = C$

단계 8.1.2

방정식의 양변에서 $C$ 를 뺍니다.

$\frac{1}{x^{2}} y + \frac{2}{x^{3}} - C = 0$

단계 8.1.3

$\frac{1}{x^{2}}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}} - C = 0$

단계 8.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

방정식의 양변에서 $\frac{2}{x^{3}}$ 를 뺍니다.

$\frac{y}{x^{2}} - C = - \frac{2}{x^{3}}$

단계 8.2.2

방정식의 양변에 $C$ 를 더합니다.

$\frac{y}{x^{2}} = - \frac{2}{x^{3}} + C$

단계 8.3

양변에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (- \frac{2}{x^{3}} + C) x^{2}$

단계 8.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1.1

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (- \frac{2}{x^{3}} + C) x^{2}$

단계 8.4.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y = (- \frac{2}{x^{3}} + C) x^{2}$

단계 8.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1

$(- \frac{2}{x^{3}} + C) x^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = - \frac{2}{x^{3}} x^{2} + C x^{2}$

단계 8.4.2.1.2

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1.2.1

$- \frac{2}{x^{3}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y = \frac{- 2}{x^{3}} x^{2} + C x^{2}$

단계 8.4.2.1.2.2

$x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 2}{x^{2} x} x^{2} + C x^{2}$

단계 8.4.2.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{- 2}{x^{2} x} x^{2} + C x^{2}$

단계 8.4.2.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{- 2}{x} + C x^{2}$

단계 8.4.2.1.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{2}{x} + C x^{2}$

단계 8.4.2.1.3.2

$- \frac{2}{x}$ 와 $C x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = C x^{2} - \frac{2}{x}$