미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = x^{3} - x y$

단계 1

방정식의 양변에 $x y$ 를 더합니다.

$\frac{d y}{d x} + x y = x^{3}$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = x$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int x d x}$

단계 2.2

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{\frac{1}{2} x^{2}}$

단계 2.4

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$

단계 3

각 항에 적분 인수 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 항에 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{3}$

단계 3.2

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{3}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + x y e^{\frac{x^{2}}{2}} = x^{3} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] = x^{3} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int x^{3} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int x^{3} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

단계 7

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

먼저 $u = \frac{x^{2}}{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = x d x$ 이므로 $\frac{1}{x} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$u = \frac{x^{2}}{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.1

$\frac{x^{2}}{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

단계 7.1.1.2

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x^{2}}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 7.1.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} (2 x)$

단계 7.1.1.4

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.4.1

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{2} x$

단계 7.1.1.4.2

$\frac{2}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x}{2}$

단계 7.1.1.4.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.4.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2}$

단계 7.1.1.4.3.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x$

단계 7.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {\sqrt{2 u}}^{2} e^{u} d u$

단계 7.2

${\sqrt{2 u}}^{2}$ 을 $2 u$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2 u}$ 을(를) ${(2 u)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {({(2 u)}^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{u} d u$

단계 7.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {(2 u)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{u} d u$

단계 7.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {(2 u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} d u$

단계 7.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {(2 u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} d u$

단계 7.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {(2 u)}^{1} e^{u} d u$

단계 7.2.5

간단히 합니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int 2 u e^{u} d u$

단계 7.3

$2$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 \int u e^{u} d u$

단계 7.4

$w = u$ 이고 $dv = e^{u}$ 일 때 $\int w d v = w v - \int v d w$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

단계 7.5

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (u e^{u} - (e^{u} + C))$

단계 7.6

간단히 합니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (u e^{u} - e^{u}) + C$

단계 7.7

$u$ 를 모두 $\frac{x^{2}}{2}$ 로 바꿉니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (\frac{x^{2}}{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} - e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

단계 7.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.1

$\frac{x^{2}}{2}$ 와 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (\frac{x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} - e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

단계 7.8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 \frac{x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} + 2 (- e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

단계 7.8.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.3.1

공약수로 약분합니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 \frac{x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} + 2 (- e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

단계 7.8.3.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} + 2 (- e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

단계 7.8.4

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} - 2 e^{\frac{x^{2}}{2}} + C$

단계 7.9

항을 다시 정렬합니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}} - 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$

단계 8

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}} - 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$ 의 각 항을 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}} - 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$ 의 각 항을 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 8.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 8.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 8.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1

$e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ 및 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1.1

$x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ 에서 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 8.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 8.3.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

단계 8.3.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}}{1} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 8.3.1.1.2.4

$x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 8.3.1.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.2.1

$\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.2.1.1

$\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) - x^{2}}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 8.3.1.2.1.2

$- x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 8.3.1.2.1.3

$x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 8.3.1.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 8.3.1.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (1 - 1)}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 8.3.1.2.3

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} \cdot 0}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 8.3.1.3

$x^{2}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y = x^{2} e^{\frac{0}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 8.3.1.4

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$y = x^{2} e^{0} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 8.3.1.5

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$y = x^{2} \cdot 1 + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 8.3.1.6

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = x^{2} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 8.3.1.7

$e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ 및 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.7.1

$- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ 에서 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$y = x^{2} + \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 8.3.1.7.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.7.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$y = x^{2} + \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 8.3.1.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = x^{2} + \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 8.3.1.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = x^{2} + \frac{- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}}{1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 8.3.1.7.2.4

$- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 8.3.1.8

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.8.1

$\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.8.1.1

$\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) - x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 8.3.1.8.1.2

$- x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 8.3.1.8.1.3

$x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 8.3.1.8.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.8.2.1

공약수로 약분합니다.

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 8.3.1.8.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (1 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 8.3.1.8.3

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} \cdot 0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 8.3.1.9

$x^{2}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 8.3.1.10

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$y = x^{2} - 2 e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 8.3.1.11

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$y = x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 8.3.1.12

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = x^{2} - 2 + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$