미적분 예제

$y (x^{2} - 1) d y + x (y^{2} - 1) d x = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $x (y^{2} - 1) d x$ 를 뺍니다.

$y (x^{2} - 1) d y = - x (y^{2} - 1) d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (y (x^{2} - 1)) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$x^{2} - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$y (x^{2} - 1)$ 에서 $x^{2} - 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} ((x^{2} - 1) y) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

단계 3.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} ((x^{2} - 1) y) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

단계 3.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2} - 1} y d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

단계 3.2

$\frac{1}{y^{2} - 1}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{y}{y^{2} - 1} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

단계 3.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{y}{y^{2} - 1^{2}} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

단계 3.3.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = y$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

단계 3.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = - \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

단계 3.5

$y^{2} - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$- \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

단계 3.5.2

$(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)$ 에서 $y^{2} - 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

단계 3.5.3

$x (y^{2} - 1)$ 에서 $y^{2} - 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)} ((y^{2} - 1) x) d x$

단계 3.5.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)} ((y^{2} - 1) x) d x$

단계 3.5.5

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{x^{2} - 1} x d x$

단계 3.6

$\frac{- 1}{x^{2} - 1}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- x}{x^{2} - 1} d x$

단계 3.7

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- x}{x^{2} - 1^{2}} d x$

단계 3.7.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

단계 3.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

단계 4.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

먼저 $u_{1} = (y + 1) (y - 1)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 y d y$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$u_{1} = (y + 1) (y - 1)$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1.1

$(y + 1) (y - 1)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [(y + 1) (y - 1)]$

단계 4.2.1.1.2

$f (y) = y + 1$ , $g (y) = y - 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

단계 4.2.1.1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1.3.1

합의 법칙에 의해 $y - 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ 가 됩니다.

$(y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

단계 4.2.1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

단계 4.2.1.1.3.3

$- 1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$(y + 1) (1 + 0) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

단계 4.2.1.1.3.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1.3.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(y + 1) \cdot 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

단계 4.2.1.1.3.4.2

$y + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

단계 4.2.1.1.3.5

합의 법칙에 의해 $y + 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ 가 됩니다.

$y + 1 + (y - 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

단계 4.2.1.1.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y + 1 + (y - 1) (1 + \frac{d}{d y} [1])$

단계 4.2.1.1.3.7

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$y + 1 + (y - 1) (1 + 0)$

단계 4.2.1.1.3.8

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1.3.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y + 1 + (y - 1) \cdot 1$

단계 4.2.1.1.3.8.2

$y - 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + 1 + y - 1$

단계 4.2.1.1.3.8.3

$y$ 를 $y$ 에 더합니다.

$2 y + 1 - 1$

단계 4.2.1.1.3.8.4

숫자를 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1.3.8.4.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$2 y + 0$

단계 4.2.1.1.3.8.4.2

$2 y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 y$

단계 4.2.1.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$\frac{1}{u_{1}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

단계 4.2.2.2

$u_{1}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

단계 4.2.3

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

단계 4.2.4

$\frac{1}{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{1} |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

단계 4.2.5

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

단계 4.2.6

$u_{1}$ 를 모두 $(y + 1) (y - 1)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

단계 4.3.2

먼저 $u_{2} = (x + 1) (x - 1)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$u_{2} = (x + 1) (x - 1)$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

$(x + 1) (x - 1)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

단계 4.3.2.1.2

$f (x) = x + 1$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 4.3.2.1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.3.1

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 4.3.2.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 4.3.2.1.3.3

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 4.3.2.1.3.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.3.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 4.3.2.1.3.4.2

$x + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 4.3.2.1.3.5

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 4.3.2.1.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 4.3.2.1.3.7

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

단계 4.3.2.1.3.8

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.3.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

단계 4.3.2.1.3.8.2

$x - 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x + 1 + x - 1$

단계 4.3.2.1.3.8.3

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$2 x + 1 - 1$

단계 4.3.2.1.3.8.4

숫자를 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.3.8.4.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$2 x + 0$

단계 4.3.2.1.3.8.4.2

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 4.3.2.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 4.3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

$\frac{1}{u_{2}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

단계 4.3.3.2

$u_{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

단계 4.3.4

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

단계 4.3.5

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

단계 4.3.6

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

단계 4.3.7

$u_{2}$ 를 모두 $(x + 1) (x - 1)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C_{2}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) = - \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C$

단계 5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

단계 5.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |))$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(y + 1) (y - 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y (y - 1) + 1 (y - 1) |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

단계 5.2.1.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1) |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

단계 5.2.1.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

단계 5.2.1.1.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.2.1.1

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

단계 5.2.1.1.2.1.2

$y$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

단계 5.2.1.1.2.1.3

$- 1 y$ 을 $- y$ 로 바꿔 씁니다.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

단계 5.2.1.1.2.1.4

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

단계 5.2.1.1.2.1.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + y - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

단계 5.2.1.1.2.2

$- y$ 를 $y$ 에 더합니다.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 0 - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

단계 5.2.1.1.2.3

$y^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

단계 5.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $\ln (| y^{2} - 1 |)$ 을 묶습니다.

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 1 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

단계 5.2.1.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 1 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

단계 5.2.1.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

단계 5.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + 1) (x - 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x (x - 1) + 1 (x - 1) |) + C)$

단계 5.2.2.1.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |) + C)$

단계 5.2.2.1.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

단계 5.2.2.1.1.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1.2.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

단계 5.2.2.1.1.2.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

단계 5.2.2.1.1.2.1.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

단계 5.2.2.1.1.2.1.4

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

단계 5.2.2.1.1.2.1.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - x + x - 1 |) + C)$

단계 5.2.2.1.1.2.2

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 0 - 1 |) + C)$

단계 5.2.2.1.1.2.3

$x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - 1 |) + C)$

단계 5.2.2.1.1.3

$\ln (| x^{2} - 1 |)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} + C)$

단계 5.2.2.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $C$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

단계 5.2.2.1.3

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.3.1

$C$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

단계 5.2.2.1.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 \frac{- \ln (| x^{2} - 1 |) + C \cdot 2}{2}$

단계 5.2.2.1.3.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 \frac{- \ln (| x^{2} - 1 |) + C \cdot 2}{2}$

단계 5.2.2.1.3.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - \ln (| x^{2} - 1 |) + C \cdot 2$

단계 5.2.2.1.4

$C$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - \ln (| x^{2} - 1 |) + 2 C$

단계 5.3

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| y^{2} - 1 |) + \ln (| x^{2} - 1 |) = 2 C$

단계 5.4

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\ln (| y^{2} - 1 | | x^{2} - 1 |) = 2 C$

단계 5.5

절댓값을 곱하려면 각 절댓값 내부의 항을 곱합니다.

$\ln (| (y^{2} - 1) (x^{2} - 1) |) = 2 C$

단계 5.6

FOIL 계산법을 이용하여 $(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\ln (| y^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1) |) = 2 C$

단계 5.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\ln (| y^{2} x^{2} + y^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1) |) = 2 C$

단계 5.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\ln (| y^{2} x^{2} + y^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 |) = 2 C$

단계 5.7

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.1

$y^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\ln (| y^{2} x^{2} - 1 \cdot y^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 |) = 2 C$

단계 5.7.2

$- 1 y^{2}$ 을 $- y^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (| y^{2} x^{2} - y^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 |) = 2 C$

단계 5.7.3

$- 1 x^{2}$ 을 $- x^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (| y^{2} x^{2} - y^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 |) = 2 C$

단계 5.7.4

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\ln (| y^{2} x^{2} - y^{2} - x^{2} + 1 |) = 2 C$

단계 5.8

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| y^{2} x^{2} - y^{2} - x^{2} + 1 |)} = e^{2 C}$

단계 5.9

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| y^{2} x^{2} - y^{2} - x^{2} + 1 |) = 2 C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{2 C} = | y^{2} x^{2} - y^{2} - x^{2} + 1 |$

단계 5.10

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.1

$| y^{2} x^{2} - y^{2} - x^{2} + 1 | = e^{2 C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| y^{2} x^{2} - y^{2} - x^{2} + 1 | = e^{2 C}$

단계 5.10.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y^{2} x^{2} - y^{2} - x^{2} + 1 = \pm e^{2 C}$

단계 5.10.3

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.3.1

방정식의 양변에 $x^{2}$ 를 더합니다.

$y^{2} x^{2} - y^{2} + 1 = \pm e^{2 C} + x^{2}$

단계 5.10.3.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$y^{2} x^{2} - y^{2} = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$

단계 5.10.4

$y^{2} x^{2} - y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.4.1

$y^{2} x^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} (x^{2}) - y^{2} = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$

단계 5.10.4.2

$- y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} (x^{2}) + y^{2} \cdot - 1 = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$

단계 5.10.4.3

$y^{2} (x^{2}) + y^{2} \cdot - 1$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} (x^{2} - 1) = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$

단계 5.10.5

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y^{2} (x^{2} - 1^{2}) = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$

단계 5.10.6

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.6.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$y^{2} ((x + 1) (x - 1)) = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$

단계 5.10.6.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$y^{2} (x + 1) (x - 1) = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$

단계 5.10.7

$y^{2} (x + 1) (x - 1) = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$ 의 각 항을 $(x + 1) (x - 1)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.7.1

$y^{2} (x + 1) (x - 1) = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$ 의 각 항을 $(x + 1) (x - 1)$ 로 나눕니다.

$\frac{y^{2} (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{\pm e^{2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 1}{(x + 1) (x - 1)}$

단계 5.10.7.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.7.2.1

$x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y^{2} (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{\pm e^{2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 1}{(x + 1) (x - 1)}$

단계 5.10.7.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y^{2} (x - 1)}{x - 1} = \frac{\pm e^{2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 1}{(x + 1) (x - 1)}$

단계 5.10.7.2.2

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.7.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y^{2} (x - 1)}{x - 1} = \frac{\pm e^{2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 1}{(x + 1) (x - 1)}$

단계 5.10.7.2.2.2

$y^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 1}{(x + 1) (x - 1)}$

단계 5.10.7.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.7.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

단계 5.10.8

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}}$

단계 5.10.9

$\pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.9.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} + x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}}$

단계 5.10.9.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1}{(x + 1) (x - 1)}}$

단계 5.10.9.3

$\sqrt{\frac{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1}{(x + 1) (x - 1)}}$ 을 $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

단계 5.10.9.4

$\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ 에 $\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

단계 5.10.9.5

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.9.5.1

$\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ 에 $\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

단계 5.10.9.5.2

$\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

단계 5.10.9.5.3

$\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1}}$

단계 5.10.9.5.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1 + 1}}$

단계 5.10.9.5.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$

단계 5.10.9.5.6

${\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}$ 을 $(x + 1) (x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.9.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ 을(를) ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 5.10.9.5.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 5.10.9.5.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

단계 5.10.9.5.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.9.5.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

단계 5.10.9.5.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{((x + 1) (x - 1))}^{1}}$

단계 5.10.9.5.6.5

간단히 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{(x + 1) (x - 1)}$

단계 5.10.9.6

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{2 C} + x^{2} - 1) (x + 1) (x - 1)}}{(x + 1) (x - 1)}$

단계 6

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{(C + x^{2} - 1) (x + 1) (x - 1)}}{(x + 1) (x - 1)}$