미적분 예제

$(1 + 2 y) d x + (x - 4) d y = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $(1 + 2 y) d x$ 를 뺍니다.

$(x - 4) d y = - (1 + 2 y) d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (x - 4) d y = \frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (- (1 + 2 y)) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$x - 4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (x - 4) d y = \frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (- (1 + 2 y)) d x$

단계 3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (- (1 + 2 y)) d x$

단계 3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = - \frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (1 + 2 y) d x$

단계 3.3

$1 + 2 y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- \frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (1 + 2 y) d x$

단계 3.3.2

$(x - 4) (1 + 2 y)$ 에서 $1 + 2 y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{(1 + 2 y) (x - 4)} (1 + 2 y) d x$

단계 3.3.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{(1 + 2 y) (x - 4)} (1 + 2 y) d x$

단계 3.3.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{x - 4} d x$

단계 3.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = - \frac{1}{x - 4} d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{1 + 2 y} d y = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

단계 4.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

먼저 $u_{1} = 1 + 2 y$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 d y$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$u_{1} = 1 + 2 y$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1.1

$1 + 2 y$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [1 + 2 y]$

단계 4.2.1.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 + 2 y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [2 y]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [2 y]$

단계 4.2.1.1.2.2

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d y} [2 y]$

단계 4.2.1.1.3

$\frac{d}{d y} [2 y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1.3.1

$2$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $2 y$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$0 + 2 \frac{d}{d y} [y]$

단계 4.2.1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 2 \cdot 1$

단계 4.2.1.1.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + 2$

단계 4.2.1.1.4

$0$ 를 $2$ 에 더합니다.

$2$

단계 4.2.1.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$\frac{1}{u_{1}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

단계 4.2.2.2

$u_{1}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

단계 4.2.3

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

단계 4.2.4

$\frac{1}{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{1} |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

단계 4.2.5

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

단계 4.2.6

$u_{1}$ 를 모두 $1 + 2 y$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x - 4} d x$

단계 4.3.2

먼저 $u_{2} = x - 4$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$u_{2} = x - 4$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

$x - 4$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

단계 4.3.2.1.2

합의 법칙에 의해 $x - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 4.3.2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 4.3.2.1.4

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$1 + 0$

단계 4.3.2.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 4.3.2.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 4.3.3

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

단계 4.3.4

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

단계 4.3.5

$u_{2}$ 를 모두 $x - 4$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \ln (| x - 4 |) + C_{2}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) = - \ln (| x - 4 |) + C$

단계 5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |)) = 2 (- \ln (| x - 4 |) + C)$

단계 5.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |))$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $\ln (| 1 + 2 y |)$ 을 묶습니다.

$2 \frac{\ln (| 1 + 2 y |)}{2} = 2 (- \ln (| x - 4 |) + C)$

단계 5.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{\ln (| 1 + 2 y |)}{2} = 2 (- \ln (| x - 4 |) + C)$

단계 5.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 (- \ln (| x - 4 |) + C)$

단계 5.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$2 (- \ln (| x - 4 |) + C)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 (- \ln (| x - 4 |)) + 2 C$

단계 5.2.2.1.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\ln (| 1 + 2 y |) = - 2 \ln (| x - 4 |) + 2 C$

단계 5.3

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| 1 + 2 y |) + 2 \ln (| x - 4 |) = 2 C$

단계 5.4

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$\ln (| 1 + 2 y |) + 2 \ln (| x - 4 |)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1.1.1

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (| x - 4 |)$ 을 간단히 합니다.

$\ln (| 1 + 2 y |) + \ln ({| x - 4 |}^{2}) = 2 C$

단계 5.4.1.1.2

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| x - 4 |}^{2}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$\ln (| 1 + 2 y |) + \ln ({(x - 4)}^{2}) = 2 C$

단계 5.4.1.2

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\ln (| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2}) = 2 C$

단계 5.5

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2})} = e^{2 C}$

단계 5.6

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2}) = 2 C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{2 C} = | 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2}$

단계 5.7

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.1

$| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2} = e^{2 C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2} = e^{2 C}$

단계 5.7.2

$| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2} = e^{2 C}$ 의 각 항을 ${(x - 4)}^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.2.1

$| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2} = e^{2 C}$ 의 각 항을 ${(x - 4)}^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{2}} = \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}$

단계 5.7.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.2.2.1

${(x - 4)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{2}} = \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}$

단계 5.7.2.2.1.2

$| 1 + 2 y |$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$| 1 + 2 y | = \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}$

단계 5.7.3

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$1 + 2 y = \pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}$

단계 5.7.4

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$2 y = \pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}} - 1$

단계 5.7.5

$2 y = \pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}} - 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.5.1

$2 y = \pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}} - 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

단계 5.7.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.5.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

단계 5.7.5.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

단계 5.7.5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.5.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}}{2} - \frac{1}{2}$

단계 5.7.5.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}} - 1}{2}$

단계 6

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{\pm \frac{C}{{(x - 4)}^{2}} - 1}{2}$

단계 6.2

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = \frac{C \frac{1}{{(x - 4)}^{2}} - 1}{2}$