미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = x {(2 x - 1)}^{5}$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = x {(2 x - 1)}^{5} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int x {(2 x - 1)}^{5} d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int x {(2 x - 1)}^{5} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

먼저 $u = 2 x - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.3.1.1

$u = 2 x - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.3.1.1.1

$2 x - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

단계 2.3.1.1.2

합의 법칙에 의해 $2 x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.3.1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.3.1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.3.1.1.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.3.1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1.1.4.1

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$2 + 0$

단계 2.3.1.1.4.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2$

단계 2.3.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = \int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) u^{5} \frac{1}{2} d u$

단계 2.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $u^{5}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) \frac{u^{5}}{2} d u$

단계 2.3.3

간단히 합니다.

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단계 2.3.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{5}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{5}}{2} d u$

단계 2.3.3.2

$\frac{u}{2}$ 에 $\frac{u^{5}}{2}$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \int \frac{u \cdot u^{5}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{5}}{2} d u$

단계 2.3.3.3

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$y + C_{1} = \int \frac{u^{1} u^{5}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{5}}{2} d u$

단계 2.3.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y + C_{1} = \int \frac{u^{1 + 5}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{5}}{2} d u$

단계 2.3.3.5

$1$ 를 $5$ 에 더합니다.

$y + C_{1} = \int \frac{u^{6}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{5}}{2} d u$

단계 2.3.3.6

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \int \frac{u^{6}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{5}}{2} d u$

단계 2.3.3.7

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{u^{5}}{2}$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \int \frac{u^{6}}{4} + \frac{u^{5}}{2 \cdot 2} d u$

단계 2.3.3.8

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \int \frac{u^{6}}{4} + \frac{u^{5}}{4} d u$

단계 2.3.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y + C_{1} = \int \frac{u^{6}}{4} d u + \int \frac{u^{5}}{4} d u$

단계 2.3.5

$\frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int u^{6} d u + \int \frac{u^{5}}{4} d u$

단계 2.3.6

멱의 법칙에 의해 $u^{6}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{7} u^{7}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{7} u^{7} + C_{2}) + \int \frac{u^{5}}{4} d u$

단계 2.3.7

$\frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{7} u^{7} + C_{2}) + \frac{1}{4} \int u^{5} d u$

단계 2.3.8

멱의 법칙에 의해 $u^{5}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{6} u^{6}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{7} u^{7} + C_{2}) + \frac{1}{4} (\frac{1}{6} u^{6} + C_{3})$

단계 2.3.9

간단히 합니다.

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단계 2.3.9.1

간단히 합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7} u^{7} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C_{4}$

단계 2.3.9.2

간단히 합니다.

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단계 2.3.9.2.1

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{1}{7}$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{4 \cdot 7} u^{7} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C_{4}$

단계 2.3.9.2.2

$4$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{28} u^{7} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C_{4}$

단계 2.3.9.2.3

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{1}{6}$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{28} u^{7} + \frac{1}{4 \cdot 6} u^{6} + C_{4}$

단계 2.3.9.2.4

$4$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{28} u^{7} + \frac{1}{24} u^{6} + C_{4}$

단계 2.3.10

$u$ 를 모두 $2 x - 1$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{28} {(2 x - 1)}^{7} + \frac{1}{24} {(2 x - 1)}^{6} + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = \frac{1}{28} {(2 x - 1)}^{7} + \frac{1}{24} {(2 x - 1)}^{6} + K$