미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{1 + x}$

단계 1

변수를 분리합니다.

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단계 1.1

양변에 $\frac{1}{y + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{y + 1}{1 + x}$

단계 1.2

$y + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{y + 1}{1 + x}$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{1}{1 + x} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1}{1 + x} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

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단계 2.2.1

먼저 $u_{1} = y + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$u_{1} = y + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.1

$y + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

단계 2.2.1.1.2

합의 법칙에 의해 $y + 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

단계 2.2.1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

단계 2.2.1.1.4

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 2.2.1.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 2.2.1.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{1 + x} d x$

단계 2.2.2

$\frac{1}{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{1} |)$ 입니다.

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x} d x$

단계 2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $y + 1$ 로 바꿉니다.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

먼저 $u_{2} = 1 + x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$u_{2} = 1 + x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.1

$1 + x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

단계 2.3.1.1.2

합의 법칙에 의해 $1 + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.1.1.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.1.1.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 1$

단계 2.3.1.1.5

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$1$

단계 2.3.1.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 2.3.2

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

단계 2.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $1 + x$ 로 바꿉니다.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \ln (| 1 + x |) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y + 1 |) = \ln (| 1 + x |) + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| y + 1 |) - \ln (| 1 + x |) = C$

단계 3.2

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\ln (\frac{| y + 1 |}{| 1 + x |}) = C$

단계 3.3

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (\frac{| y + 1 |}{| 1 + x |})} = e^{C}$

단계 3.4

로그의 정의를 이용하여 $\ln (\frac{| y + 1 |}{| 1 + x |}) = C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{C} = \frac{| y + 1 |}{| 1 + x |}$

단계 3.5

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.5.1

$\frac{| y + 1 |}{| 1 + x |} = e^{C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{| y + 1 |}{| 1 + x |} = e^{C}$

단계 3.5.2

양변에 $| 1 + x |$ 을 곱합니다.

$\frac{| y + 1 |}{| 1 + x |} | 1 + x | = e^{C} | 1 + x |$

단계 3.5.3

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.5.3.1

$| 1 + x |$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{| y + 1 |}{| 1 + x |} | 1 + x | = e^{C} | 1 + x |$

단계 3.5.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$| y + 1 | = e^{C} | 1 + x |$

단계 3.5.4

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.5.4.1

$e^{C} | 1 + x |$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$| y + 1 | = | 1 + x | e^{C}$

단계 3.5.4.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y + 1 = \pm | 1 + x | e^{C}$

단계 3.5.4.3

$\pm | 1 + x | e^{C}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y + 1 = \pm e^{C} | 1 + x |$

단계 3.5.4.4

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$y = \pm e^{C} | 1 + x | - 1$

단계 4

상수 항을 하나로 묶습니다.

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단계 4.1

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \pm C | 1 + x | - 1$

단계 4.2

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = C | 1 + x | - 1$