미적분 예제

$\frac{x^{5} + 3 y}{x} - \frac{d y}{d x} = 0$

단계 1

$\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ 로 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

분수 $\frac{x^{5} + 3 y}{x}$ 를 두 개의 분수로 나눕니다.

$\frac{x^{5}}{x} + \frac{3 y}{x} - \frac{d y}{d x} = 0$

단계 1.1.2

방정식의 양변에서 $\frac{x^{5}}{x}$ 를 뺍니다.

$\frac{3 y}{x} - \frac{d y}{d x} = - \frac{x^{5}}{x}$

단계 1.1.3

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = - \frac{x^{5}}{x}$

단계 1.2

$\frac{3 y}{x}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{d y}{d x} + y \frac{3}{x} = - \frac{x^{5}}{x}$

단계 1.3

$y$ 와 $\frac{3}{x}$ 을 다시 정렬합니다.

$- \frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = - \frac{x^{5}}{x}$

단계 1.4

$- \frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = - \frac{x^{5}}{x}$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \frac{d y}{d x}}{- 1} + \frac{\frac{3}{x} y}{- 1} = \frac{- \frac{x^{5}}{x}}{- 1}$

단계 1.5

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} + \frac{\frac{3}{x} y}{- 1} = \frac{- \frac{x^{5}}{x}}{- 1}$

단계 1.6

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{3}{x} y}{- 1} = \frac{- \frac{x^{5}}{x}}{- 1}$

단계 1.7

$\frac{\frac{3}{x} y}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot (\frac{3}{x} y) = \frac{- \frac{x^{5}}{x}}{- 1}$

단계 1.8

$x^{5}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.1

$x^{5}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot (\frac{3}{x} y) = \frac{- \frac{x \cdot x^{4}}{x}}{- 1}$

단계 1.8.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot (\frac{3}{x} y) = \frac{- \frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}}}{- 1}$

단계 1.8.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot (\frac{3}{x} y) = \frac{- \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1}}{- 1}$

단계 1.8.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot (\frac{3}{x} y) = \frac{- \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1}}{- 1}$

단계 1.8.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot (\frac{3}{x} y) = \frac{- \frac{x^{4}}{1}}{- 1}$

단계 1.8.2.5

$x^{4}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot (\frac{3}{x} y) = \frac{- x^{4}}{- 1}$

단계 1.9

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot (\frac{3}{x} y) = \frac{x^{4}}{1}$

단계 1.10

$x^{4}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot (\frac{3}{x} y) = x^{4}$

단계 1.11

$\frac{3}{x}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot \frac{3 y}{x} = x^{4}$

단계 1.12

$- 1 \cdot \frac{3 y}{x}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + y (- 1 \cdot \frac{3}{x}) = x^{4}$

단계 1.13

$y$ 와 $- 1 \cdot \frac{3}{x}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot \frac{3}{x} y = x^{4}$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = - 1 \cdot \frac{3}{x}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int - 1 \cdot \frac{3}{x} d x}$

단계 2.2

$- 1 \cdot \frac{3}{x}$ 를 적분합니다.

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단계 2.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

단계 2.2.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

단계 2.2.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

단계 2.2.4

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

단계 2.2.5

간단히 합니다.

$e^{- 3 \ln (| x |) + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{- 3 \ln (x)}$

단계 2.4

로그 멱의 법칙을 사용합니다.

$e^{\ln (x^{- 3})}$

단계 2.5

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$x^{- 3}$

단계 2.6

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x^{3}}$

단계 3

각 항에 적분 인수 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 곱합니다.

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단계 3.1

각 항에 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{3}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{3}} (- 1 \cdot \frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

단계 3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$\frac{1}{x^{3}}$ 와 $\frac{d y}{d x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} (- 1 \cdot \frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

단계 3.2.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} (\frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

단계 3.2.3

$\frac{3}{x}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x} = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

단계 3.2.4

$- \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.4.1

$\frac{3 y}{x}$ 에 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x \cdot x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

단계 3.2.4.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.4.2.1

$x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.4.2.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1} x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

단계 3.2.4.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1 + 3}} = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

단계 3.2.4.2.2

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

단계 3.3

$x^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$x^{4}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} (x^{3} x)$

단계 3.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} (x^{3} x)$

단계 3.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = x$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] = x$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] d x = \int x d x$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$\frac{1}{x^{3}} y = \int x d x$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 8

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$\frac{1}{x^{3}}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{y}{x^{3}} = \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 8.2

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{y}{x^{3}} = \frac{x^{2}}{2} + C$

단계 8.3

양변에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (\frac{x^{2}}{2} + C) x^{3}$

단계 8.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1.1

$x^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (\frac{x^{2}}{2} + C) x^{3}$

단계 8.4.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y = (\frac{x^{2}}{2} + C) x^{3}$

단계 8.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1

$(\frac{x^{2}}{2} + C) x^{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{x^{2}}{2} x^{3} + C x^{3}$

단계 8.4.2.1.2

$\frac{x^{2}}{2} x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1.2.1

$\frac{x^{2}}{2}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{x^{2} x^{3}}{2} + C x^{3}$

단계 8.4.2.1.2.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1.2.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \frac{x^{2 + 3}}{2} + C x^{3}$

단계 8.4.2.1.2.2.2

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$y = \frac{x^{5}}{2} + C x^{3}$