미적분 예제

$\frac{d s}{d t} = 8 \sin^{2} (t + \frac{π}{12})$ , $s (0) = 7$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d s = 8 \sin^{2} (t + \frac{π}{12}) d t$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d s = \int 8 \sin^{2} (t + \frac{π}{12}) d t$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$s + C_{1} = \int 8 \sin^{2} (t + \frac{π}{12}) d t$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$8$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $8$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$s + C_{1} = 8 \int \sin^{2} (t + \frac{π}{12}) d t$

단계 2.3.2

먼저 $u_{1} = t + \frac{π}{12}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$u_{1} = t + \frac{π}{12}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

$t + \frac{π}{12}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [t + \frac{π}{12}]$

단계 2.3.2.1.2

합의 법칙에 의해 $t + \frac{π}{12}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{12}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{12}]$

단계 2.3.2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d t} [\frac{π}{12}]$

단계 2.3.2.1.4

$\frac{π}{12}$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $\frac{π}{12}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{π}{12}$ 입니다.

$1 + 0$

단계 2.3.2.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 2.3.2.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$s + C_{1} = 8 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

단계 2.3.3

반각 공식을 이용해 $\sin^{2} (u_{1})$ 를 $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$s + C_{1} = 8 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

단계 2.3.4

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$s + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ 와 $8$ 을 묶습니다.

$s + C_{1} = \frac{8}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

단계 2.3.5.2

$8$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.2.1

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

단계 2.3.5.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

단계 2.3.5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

단계 2.3.5.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$s + C_{1} = \frac{4}{1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

단계 2.3.5.2.2.4

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$s + C_{1} = 4 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

단계 2.3.6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$s + C_{1} = 4 (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

단계 2.3.7

상수 규칙을 적용합니다.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

단계 2.3.8

$- 1$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

단계 2.3.9

먼저 $u_{2} = 2 u_{1}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 d u_{1}$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.9.1

$u_{2} = 2 u_{1}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.9.1.1

$2 u_{1}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

단계 2.3.9.1.2

$2$ 은 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로 $u_{1}$ 에 대한 $2 u_{1}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

단계 2.3.9.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 2.3.9.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 2.3.9.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

단계 2.3.10

$\cos (u_{2})$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

단계 2.3.11

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

단계 2.3.12

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\sin (u_{2})$ 입니다.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C_{3}))$

단계 2.3.13

간단히 합니다.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C_{4}$

단계 2.3.14

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.14.1

$u_{1}$ 를 모두 $t + \frac{π}{12}$ 로 바꿉니다.

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C_{4}$

단계 2.3.14.2

$u_{2}$ 를 모두 $2 u_{1}$ 로 바꿉니다.

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C_{4}$

단계 2.3.14.3

$u_{1}$ 를 모두 $t + \frac{π}{12}$ 로 바꿉니다.

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 (t + \frac{π}{12}))) + C_{4}$

단계 2.3.15

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.15.1

분배 법칙을 적용합니다.

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{π}{12})) + C_{4}$

단계 2.3.15.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.15.2.1

$12$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{π}{2 (6)})) + C_{4}$

단계 2.3.15.2.2

공약수로 약분합니다.

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{π}{2 \cdot 6})) + C_{4}$

단계 2.3.15.2.3

수식을 다시 씁니다.

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + \frac{π}{6})) + C_{4}$

단계 2.3.15.3

$\sin (2 t + \frac{π}{6})$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

단계 2.3.15.4

분배 법칙을 적용합니다.

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{π}{12} + 4 (- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

단계 2.3.15.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.15.5.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.15.5.1.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{π}{4 (3)} + 4 (- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

단계 2.3.15.5.1.2

공약수로 약분합니다.

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{π}{4 \cdot 3} + 4 (- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

단계 2.3.15.5.1.3

수식을 다시 씁니다.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 4 (- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

단계 2.3.15.5.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.15.5.2.1

$- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 4 \frac{- \sin (2 t + \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

단계 2.3.15.5.2.2

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 2 (2) \frac{- \sin (2 t + \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

단계 2.3.15.5.2.3

공약수로 약분합니다.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 2 \cdot 2 \frac{- \sin (2 t + \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

단계 2.3.15.5.2.4

수식을 다시 씁니다.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 2 (- \sin (2 t + \frac{π}{6})) + C_{4}$

단계 2.3.15.5.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$s = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + K$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $s = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + K$ 에서 $t$ 에 $0$ 을, $s$ 에 $7$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$7 = 4 \cdot 0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K$

단계 4

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$4 \cdot 0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K = 7$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$4 \cdot 0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K = 7$

단계 4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$4 \cdot 0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1.1

$4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K = 7$

단계 4.2.1.1.2

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (0 + \frac{π}{6}) + K = 7$

단계 4.2.1.1.3

$0$ 를 $\frac{π}{6}$ 에 더합니다.

$0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (\frac{π}{6}) + K = 7$

단계 4.2.1.1.4

$\sin (\frac{π}{6})$ 의 정확한 값은 $\frac{1}{2}$ 입니다.

$0 + \frac{π}{3} - 2 (\frac{1}{2}) + K = 7$

단계 4.2.1.1.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1.5.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$0 + \frac{π}{3} + 2 (- 1) \frac{1}{2} + K = 7$

단계 4.2.1.1.5.2

공약수로 약분합니다.

$0 + \frac{π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2} + K = 7$

단계 4.2.1.1.5.3

수식을 다시 씁니다.

$0 + \frac{π}{3} - 1 + K = 7$

단계 4.2.1.2

$0$ 를 $\frac{π}{3}$ 에 더합니다.

$\frac{π}{3} - 1 + K = 7$

단계 4.3

$K$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

방정식의 양변에서 $\frac{π}{3}$ 를 뺍니다.

$- 1 + K = 7 - \frac{π}{3}$

단계 4.3.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$K = 7 - \frac{π}{3} + 1$

단계 4.3.3

$7$ 를 $1$ 에 더합니다.

$K = 8 - \frac{π}{3}$

단계 5

$s = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + K$ 의 $K$ 에 $8 - \frac{π}{3}$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$K$ 에 $8 - \frac{π}{3}$ 를 대입합니다.

$s = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 8 - \frac{π}{3}$

단계 5.2

$4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 8 - \frac{π}{3}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$s = 4 t + \frac{π - π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 8$

단계 5.2.2

$π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$s = 4 t + \frac{0}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 8$

단계 5.3

$0$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$s = 4 t + 0 - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 8$

단계 5.4

$4 t$ 를 $0$ 에 더합니다.

$s = 4 t - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 8$