미적분 예제

Solve $(x + y) d y = (x - y) d x$

단계 1

완전미분 방정식 해법에 맞도록 미분 방정식을 다시 작성합니다.

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단계 1.1

방정식의 양변에서 $(x - y) d x$ 를 뺍니다.

$(x + y) d y - (x - y) d x = 0$

단계 1.2

다시 씁니다.

$- (x - y) d x + (x + y) d y = 0$

단계 2

$M (x, y) = - (x - y)$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x - y)]$

단계 2.2

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- (x - y)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d y} [x - y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x - y]$

단계 2.3

합의 법칙에 의해 $x - y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y])$

단계 2.4

$x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [- y])$

단계 2.5

$0$ 를 $\frac{d}{d y} [- y]$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [- y]$

단계 2.6

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- y$ 의 미분은 $- \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.7

곱합니다.

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단계 2.7.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.7.2

$\frac{d}{d y} [y]$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

단계 3

$N (x, y) = x + y$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 3.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + y]$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $x + y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.4

$y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

단계 3.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

단계 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $1$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$1 = 1$

단계 4.2

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$1 = 1$ 은 항등식입니다.

단계 5

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int - (x - y) d x$

단계 6

$M (x, y) = - (x - y)$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = - \int x - y d x$

단계 6.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$f (x, y) = - (\int x d x + \int - y d x)$

단계 6.3

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - y d x)$

단계 6.4

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C - y x + C)$

단계 6.5

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = - (\frac{x^{2}}{2} + C - y x + C)$

단계 6.6

간단히 합니다.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + C$

단계 7

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + g (y)$

단계 8

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = x + y$

단계 9

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

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단계 9.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [- (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + g (y)] = x + y$

단계 9.2

합의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 9.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x) + g (y)] = x + y$

단계 9.2.2

합의 법칙에 의해 $- (\frac{x^{2}}{2} - y x) + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

단계 9.3

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 9.3.1

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- (\frac{x^{2}}{2} - y x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2} - y x]$ 입니다.

$- \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2} - y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

단계 9.3.2

합의 법칙에 의해 $\frac{x^{2}}{2} - y x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [- y x]$ 가 됩니다.

$- (\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [- y x]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

단계 9.3.3

$\frac{x^{2}}{2}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $\frac{x^{2}}{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{x^{2}}{2}$ 입니다.

$- (0 + \frac{d}{d y} [- y x]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

단계 9.3.4

$- x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- y x$ 의 미분은 $- x \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$- (0 - x \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

단계 9.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (0 - x \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

단계 9.3.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- (0 - x) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

단계 9.3.7

$0$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$- - x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

단계 9.3.8

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

단계 9.3.9

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

단계 9.4

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$x + \frac{d g}{d y} = x + y$

단계 9.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} + x = x + y$

단계 10

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

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단계 10.1

$\frac{d g}{d y}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 10.1.1

방정식의 양변에서 $x$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = x + y - x$

단계 10.1.2

$x + y - x$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 10.1.2.1

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = y + 0$

단계 10.1.2.2

$y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = y$

단계 11

$y$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

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단계 11.1

$\frac{d g}{d y} = y$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y d y$

단계 11.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int y d y$

단계 11.3

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

단계 12

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

단계 13

각 항을 간단히 합니다.

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단계 13.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = - (\frac{x^{2}}{2} - y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

단계 13.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} - (- y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

단계 13.3

$- (- y x)$ 을 곱합니다.

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단계 13.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + 1 (y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

단계 13.3.2

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + y x + \frac{1}{2} y^{2} + C$

단계 13.4

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + y x + \frac{y^{2}}{2} + C$