미적분 예제

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + (\cos (x)) y = 5 \sin (x^{2})$

단계 1

방정식 좌변이 $\sin (x) y$ 항의 도함수 결과값인지 확인합니다.

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단계 1.1

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sin (x) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\sin (x) y' + y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 1.3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\sin (x) y' + y \cos (x)$

단계 1.4

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x)$

단계 2

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = 5 \sin (x^{2})$

단계 3

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int 5 \sin (x^{2}) d x$

단계 4

좌변을 적분합니다.

$\sin (x) y = \int 5 \sin (x^{2}) d x$

단계 5

우변을 적분합니다.

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단계 5.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\sin (x) y = 5 \int \sin (x^{2}) d x$

단계 5.2

$\int \sin (x^{2}) d x$ 은 특수한 적분입니다. 해당 적분은 프레넬적분함수입니다.

$\sin (x) y = 5 (S (x) + C)$

단계 5.3

간단히 합니다.

$\sin (x) y = 5 S (x) + C$

단계 6

$\sin (x) y = 5 S x + C$ 의 각 항을 $\sin (x)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$\sin (x) y = 5 S x + C$ 의 각 항을 $\sin (x)$ 로 나눕니다.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

단계 6.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$\sin (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

단계 6.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

단계 6.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1.1

분수를 나눕니다.

$y = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

단계 6.3.1.2

$\frac{1}{\sin (x)}$ 을 $\csc (x)$ 로 변환합니다.

$y = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{1} \csc (x)$

단계 6.3.1.3

$C$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{5 S x}{\sin (x)} + C \csc (x)$