미적분 예제

$y d x - (x + 6 y^{2}) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = y$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

단계 2

$N (x, y) = - (x + 6 y^{2})$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x + 6 y^{2})]$

단계 2.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- (x + 6 y^{2})$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x + 6 y^{2}]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x + 6 y^{2}]$

단계 2.3

합의 법칙에 의해 $x + 6 y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}])$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + \frac{d}{d x} [6 y^{2}])$

단계 2.5

$6 y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $6 y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $6 y^{2}$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + 0)$

단계 2.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

단계 2.6.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $1$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$1 = - 1$

단계 3.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$1 = - 1$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $- 1$ 를 대입합니다.

$\frac{- 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

단계 4.2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$\frac{- 1 - 1}{M}$

단계 4.3

$M$ 에 $y$ 를 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$M$ 에 $y$ 를 대입합니다.

$\frac{- 1 - 1}{y}$

단계 4.3.2

$- 1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2}{y}$

단계 4.3.3

$M$ 에 $y$ 를 대입합니다.

$- \frac{2}{y}$

단계 4.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

단계 5

적분 $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

단계 5.2

$2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

단계 5.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

단계 5.4

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

단계 5.5

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

단계 5.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1

$- 2$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 2 \ln (| y |)$ 을 간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

단계 5.6.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

단계 5.6.3

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| y |}^{- 2}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

단계 5.6.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

단계 6

$y d x - (x + 6 y^{2}) d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $\frac{1}{y^{2}}$ 를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$y$ 에 $\frac{1}{y^{2}}$ 을 곱합니다.

$y \frac{1}{y^{2}} d x - (x + 6 y^{2}) d y = 0$

단계 6.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$y^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y \frac{1}{y \cdot y} d x - (x + 6 y^{2}) d y = 0$

단계 6.2.2

공약수로 약분합니다.

$y \frac{1}{y \cdot y} d x - (x + 6 y^{2}) d y = 0$

단계 6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d x - (x + 6 y^{2}) d y = 0$

단계 6.3

$- (x + 6 y^{2})$ 에 $\frac{1}{y^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} d x - (x + 6 y^{2}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

단계 6.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{y} d x + (- x - (6 y^{2})) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

단계 6.5

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} d x + (- x - 6 y^{2}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

단계 6.6

$- x - 6 y^{2}$ 에 $\frac{1}{y^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} d x + \frac{- x - 6 y^{2}}{y^{2}} d y = 0$

단계 6.7

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y} d x + \frac{- (x) - 6 y^{2}}{y^{2}} d y = 0$

단계 6.8

$- 6 y^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y} d x + \frac{- (x) - (6 y^{2})}{y^{2}} d y = 0$

단계 6.9

$- (x) - (6 y^{2})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y} d x + \frac{- (x + 6 y^{2})}{y^{2}} d y = 0$

단계 6.10

$- (x + 6 y^{2})$ 을 $- 1 (x + 6 y^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{y} d x + \frac{- 1 (x + 6 y^{2})}{y^{2}} d y = 0$

단계 6.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{y} d x - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}} d y = 0$

단계 7

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x$

단계 8

$M (x, y) = \frac{1}{y}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{y} x + C$

단계 8.2

$\frac{1}{y}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C$

단계 9

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + g (y)$

단계 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y} + g (y)] = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

단계 11.2

합의 법칙에 의해 $\frac{x}{y} + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

단계 11.3

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1

$x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $\frac{x}{y}$ 의 미분은 $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ 입니다.

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

단계 11.3.2

$\frac{1}{y}$ 을 $y^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

단계 11.3.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

단계 11.4

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$x (- y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

단계 11.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$x (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

단계 11.5.2

$x$ 와 $\frac{1}{y^{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

단계 11.5.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

단계 12

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1

변수를 포함한 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1.1

방정식의 양변에 $\frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$ 를 더합니다.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} + \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}} = 0$

단계 12.1.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x + x + 6 y^{2}}{y^{2}} = 0$

단계 12.1.1.3

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 6 y^{2}}{y^{2}} = 0$

단계 12.1.1.4

$0$ 를 $6 y^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} + \frac{6 y^{2}}{y^{2}} = 0$

단계 12.1.1.5

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d g}{d y} + \frac{6 y^{2}}{y^{2}} = 0$

단계 12.1.1.5.2

$6$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d g}{d y} + 6 = 0$

단계 12.1.2

방정식의 양변에서 $6$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = - 6$

단계 13

$- 6$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$\frac{d g}{d y} = - 6$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 6 d y$

단계 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int - 6 d y$

단계 13.3

상수 규칙을 적용합니다.

$g (y) = - 6 y + C$

단계 14

$f (x, y) = \frac{x}{y} + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = \frac{x}{y} - 6 y + C$