미적분 예제

$\frac{d x}{d t} = 4 (x^{2} + 1)$ ; given $x (\frac{π}{4}) = 1$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + 1} (4 (x^{2} + 1))$

단계 1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = 4 \frac{1}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

단계 1.2.2

$4$ 와 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

단계 1.2.3

$x^{2} + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

단계 1.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = 4$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x^{2} + 1} d x = 4 d t$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{x^{2} + 1} d x = \int 4 d t$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$x^{2}$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \int 4 d t$

단계 2.2.1.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x = \int 4 d t$

단계 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\arctan (x) + C_{1}$ 입니다.

$\arctan (x) + C_{1} = \int 4 d t$

단계 2.3

상수 규칙을 적용합니다.

$\arctan (x) + C_{1} = 4 t + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\arctan (x) = 4 t + K$

단계 3

방정식의 양변에서 역 아크탄젠트를 취하여 아크탄젠트 안의 $x$ 을 꺼냅니다.

$x = \tan (4 t + K)$

단계 4

초기 조건을 활용하여 $x = \tan (4 t + K)$ 에서 $t$ 에 $\frac{π}{4}$ 을, $x$ 에 $1$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$1 = \tan (4 \frac{π}{4} + K)$

단계 5

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\tan (4 (\frac{π}{4}) + K) = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\tan (4 (\frac{π}{4}) + K) = 1$

단계 5.2

탄젠트 안의 $K$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$4 (\frac{π}{4}) + K = \arctan (1)$

단계 5.3

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$4 \frac{π}{4} + K = \arctan (1)$

단계 5.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$π + K = \arctan (1)$

단계 5.4

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$\arctan (1)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{4}$ 입니다.

$π + K = \frac{π}{4}$

단계 5.5

$K$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

방정식의 양변에서 $π$ 를 뺍니다.

$K = \frac{π}{4} - π$

단계 5.5.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- π$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$K = \frac{π}{4} - π \cdot \frac{4}{4}$

단계 5.5.3

$- π$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$K = \frac{π}{4} + \frac{- π \cdot 4}{4}$

단계 5.5.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$K = \frac{π - π \cdot 4}{4}$

단계 5.5.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.5.1

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$K = \frac{π - 4 π}{4}$

단계 5.5.5.2

$π$ 에서 $4 π$ 을 뺍니다.

$K = \frac{- 3 π}{4}$

단계 5.5.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$K = - \frac{3 π}{4}$

단계 5.6

탄젠트 함수는 제1사분면과 제3사분면에서 양의 값을 가집니다. 두번째 해를 구하려면 $π$ 에 기준각을 더하여 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$π + K = π + \frac{π}{4}$

단계 5.7

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.1

$π + \frac{π}{4}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$π + K = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

단계 5.7.1.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.1.2.1

$π$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$π + K = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

단계 5.7.1.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$π + K = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

단계 5.7.1.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.1.3.1

$π$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$π + K = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

단계 5.7.1.3.2

$4 π$ 를 $π$ 에 더합니다.

$π + K = \frac{5 π}{4}$

단계 5.7.2

$K$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.2.1

방정식의 양변에서 $π$ 를 뺍니다.

$K = \frac{5 π}{4} - π$

단계 5.7.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- π$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$K = \frac{5 π}{4} - π \cdot \frac{4}{4}$

단계 5.7.2.3

$- π$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$K = \frac{5 π}{4} + \frac{- π \cdot 4}{4}$

단계 5.7.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$K = \frac{5 π - π \cdot 4}{4}$

단계 5.7.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.2.5.1

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$K = \frac{5 π - 4 π}{4}$

단계 5.7.2.5.2

$5 π$ 에서 $4 π$ 을 뺍니다.

$K = \frac{π}{4}$

단계 5.8

$\tan (4 (\frac{π}{4}) + K)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.1

함수의 주기는 $\frac{π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{π}{| b |}$

단계 5.8.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{π}{| 1 |}$

단계 5.8.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{π}{1}$

단계 5.8.4

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$π$

단계 5.9

모든 음의 각에 $π$ 를 더하여 양의 각을 얻습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.1

$- \frac{3 π}{4}$ 에 $π$ 를 더하여 양의 각도를 구합니다.

$- \frac{3 π}{4} + π$

단계 5.9.2

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

단계 5.9.3

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.3.1

$π$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

단계 5.9.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{π \cdot 4 - 3 π}{4}$

단계 5.9.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.4.1

$π$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{4 \cdot π - 3 π}{4}$

단계 5.9.4.2

$4 π$ 에서 $3 π$ 을 뺍니다.

$\frac{π}{4}$

단계 5.9.5

새 각을 나열합니다.

$K = \frac{π}{4}$

단계 5.10

함수 $\tan (4 (\frac{π}{4}) + K)$ 의 주기는 $π$ 이므로 양 방향으로 $π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $K = \frac{π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n$

단계 5.11

답안을 하나로 합합니다.

$K = \frac{π}{4} + π n$

단계 6

$x = \tan (4 t + K)$ 의 $K$ 에 $\frac{π}{4} + π n$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$K$ 에 $\frac{π}{4} + π n$ 를 대입합니다.

$x = \tan (4 t + \frac{π}{4} + π n)$