미적분 예제

$\frac{d y}{d x} + (a x + b) y = 0$

단계 1

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = a x + b$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

적분을 구합니다.

$e^{\int a x + b d x}$

단계 1.2

$a x + b$ 를 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$e^{\int a x d x + \int b d x}$

단계 1.2.2

$a$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $a$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{a \int x d x + \int b d x}$

단계 1.2.3

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$e^{a (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int b d x}$

단계 1.2.4

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{a (\frac{1}{2} x^{2} + C) + b x + C}$

단계 1.2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$e^{a (\frac{x^{2}}{2} + C) + b x + C}$

단계 1.2.5.2

간단히 합니다.

$e^{\frac{1}{2} a x^{2} + b x + C}$

단계 1.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{\frac{1}{2} a x^{2} + b x}$

단계 1.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$\frac{1}{2}$ 와 $a$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{a}{2} x^{2} + b x}$

단계 1.4.2

$\frac{a}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$

단계 2

각 항에 적분 인수 $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 항에 $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} ((a x + b) y) = e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \cdot 0$

단계 2.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y + b y) = e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \cdot 0$

단계 2.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y) + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (b y) = e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \cdot 0$

단계 2.3

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y) + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (b y) = 0$

단계 2.4

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y) + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (b y) = 0$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + a x y e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} + b y e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} = 0$

단계 3

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y] = 0$

단계 4

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y] d x = \int 0 d x$

단계 5

좌변을 적분합니다.

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = \int 0 d x$

단계 6

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$0$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $0$ 입니다.

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = 0 + C$

단계 6.2

$0$ 를 $C$ 에 더합니다.

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = C$

단계 7

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = C$ 의 각 항을 $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = C$ 의 각 항을 $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}} = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}}$

단계 7.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}} = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}}$

단계 7.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}}$

단계 7.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $b x$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x \cdot \frac{2}{2}}}$

단계 7.3.1.2

$b x$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + \frac{b x \cdot 2}{2}}}$

단계 7.3.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2} + b x \cdot 2}{2}}}$

단계 7.3.1.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.4.1

$a x^{2} + b x \cdot 2$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.4.1.1

$a x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x) + b x \cdot 2}{2}}}$

단계 7.3.1.4.1.2

$b x \cdot 2$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x) + x (b \cdot 2)}{2}}}$

단계 7.3.1.4.1.3

$x (a x) + x (b \cdot 2)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x + b \cdot 2)}{2}}}$

단계 7.3.1.4.2

$b$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x + 2 b)}{2}}}$