미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = x^{2} - 2 x + 3$ , $y (1) = 4$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = (x^{2} - 2 x + 3) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y + C_{1} = \int x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int 3 d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - 2 x d x + \int 3 d x$

단계 2.3.3

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 \int x d x + \int 3 d x$

단계 2.3.4

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 3 d x$

단계 2.3.5

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

단계 2.3.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

단계 2.3.6.2

간단히 합니다.

$y + C_{1} = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 3 x + C_{5}$

단계 2.3.6.3

항을 다시 정렬합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 3 x + C_{5}$

단계 2.3.7

항을 다시 정렬합니다.

$y + C_{1} = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + C_{5}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + K$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + K$ 에서 $x$ 에 $1$ 을, $y$ 에 $4$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$4 = - 1^{2} + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K$

단계 4

$K$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.1

$- 1^{2} + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- 1^{2} + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$

단계 4.2

$- 1^{2} + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K$ 을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$

단계 4.2.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$

단계 4.2.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1 + 3 \cdot 1 + K = 4$

단계 4.2.1.4

$\frac{1}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1 + \frac{1}{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$

단계 4.2.1.5

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1 + \frac{1}{3} + 3 + K = 4$

단계 4.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} + 3 + K = 4$

단계 4.2.3

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3} + 3 + K = 4$

단계 4.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3} + 3 + K = 4$

단계 4.2.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.2.5.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3 + 1}{3} + 3 + K = 4$

단계 4.2.5.2

$- 3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- 2}{3} + 3 + K = 4$

단계 4.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2}{3} + 3 + K = 4$

단계 4.2.7

공통 분모를 가지는 분수로 $3$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3} + K = 4$

단계 4.2.8

$3$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{2}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} + K = 4$

단계 4.2.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 2 + 3 \cdot 3}{3} + K = 4$

단계 4.2.10

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.2.10.1

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 + 9}{3} + K = 4$

단계 4.2.10.2

$- 2$ 를 $9$ 에 더합니다.

$\frac{7}{3} + K = 4$

단계 4.3

$K$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 4.3.1

방정식의 양변에서 $\frac{7}{3}$ 를 뺍니다.

$K = 4 - \frac{7}{3}$

단계 4.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $4$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$K = 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{7}{3}$

단계 4.3.3

$4$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$K = \frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{7}{3}$

단계 4.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$K = \frac{4 \cdot 3 - 7}{3}$

단계 4.3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.5.1

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$K = \frac{12 - 7}{3}$

단계 4.3.5.2

$12$ 에서 $7$ 을 뺍니다.

$K = \frac{5}{3}$

단계 5

$y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + K$ 의 $K$ 에 $\frac{5}{3}$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$K$ 에 $\frac{5}{3}$ 를 대입합니다.

$y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + \frac{5}{3}$

단계 5.2

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$y = - x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + 3 x + \frac{5}{3}$