미적분 예제

$\frac{d x}{d t} = \frac{9}{x}$ , $x (0) = 9$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $x$ 을 곱합니다.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{9}{x}$

단계 1.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{9}{x}$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$x \frac{d x}{d t} = 9$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$x d x = 9 d t$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int x d x = \int 9 d t$

단계 2.2

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int 9 d t$

단계 2.3

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = 9 t + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{2} = 9 t + K$

단계 3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} x^{2}) = 2 (9 t + K)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (9 t + K)$

단계 3.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (9 t + K)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} = 2 (9 t + K)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$2 (9 t + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} = 2 (9 t) + 2 K$

단계 3.2.2.1.2

$9$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x^{2} = 18 t + 2 K$

단계 3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{18 t + 2 K}$

단계 3.4

$18 t + 2 K$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$18 t$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x = \pm \sqrt{2 (9 t) + 2 K}$

단계 3.4.2

$2 K$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x = \pm \sqrt{2 (9 t) + 2 K}$

단계 3.4.3

$2 (9 t) + 2 K$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x = \pm \sqrt{2 (9 t + K)}$

단계 3.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

단계 3.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

단계 3.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

단계 4

$x$ 가 초기 조건 $(0, 9)$ 에서 양수이므로 $x = \sqrt{2 (9 t + K)}$ 만 고려하여 $K$ 를 구합니다. $t$ 에 $0$ 를 대입하고 $x$ 에 $9$ 를 대입합니다.

$9 = \sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)}$

단계 5

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)} = 9$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)} = 9$

단계 5.2

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 제곱합니다.

${\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)}}^{2} = 9^{2}$

단계 5.3

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)}$ 을(를) ${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

${({(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 9^{2}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

${({(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

${({(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

단계 5.3.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

단계 5.3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{1} = 9^{2}$

단계 5.3.2.1.2

$9$ 에 $0$ 을 곱합니다.

${(2 (0 + K))}^{1} = 9^{2}$

단계 5.3.2.1.3

$0$ 를 $K$ 에 더합니다.

${(2 K)}^{1} = 9^{2}$

단계 5.3.2.1.4

간단히 합니다.

$2 K = 9^{2}$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$9$ 를 $2$ 승 합니다.

$2 K = 81$

단계 5.4

$2 K = 81$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$2 K = 81$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 K}{2} = \frac{81}{2}$

단계 5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 K}{2} = \frac{81}{2}$

단계 5.4.2.1.2

$K$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$K = \frac{81}{2}$

단계 6

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$ 의 $K$ 에 $\frac{81}{2}$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$K$ 에 $\frac{81}{2}$ 를 대입합니다.

$x = \sqrt{2 (9 t + \frac{81}{2})}$

단계 6.2

$9 t + \frac{81}{2}$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$9 t$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$x = \sqrt{2 (9 (t) + \frac{81}{2})}$

단계 6.2.2

$\frac{81}{2}$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$x = \sqrt{2 (9 t + 9 (\frac{9}{2}))}$

단계 6.2.3

$9 t + 9 (\frac{9}{2})$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$x = \sqrt{2 (9 (t + \frac{9}{2}))}$

$x = \sqrt{2 \cdot 9 (t + \frac{9}{2})}$

단계 6.3

$2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$x = \sqrt{18 (t + \frac{9}{2})}$

단계 6.4

공통 분모를 가지는 분수로 $t$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x = \sqrt{18 (t \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{2})}$

단계 6.5

$t$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$x = \sqrt{18 (\frac{t \cdot 2}{2} + \frac{9}{2})}$

단계 6.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \sqrt{18 \frac{t \cdot 2 + 9}{2}}$

단계 6.7

$t$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x = \sqrt{18 \frac{2 t + 9}{2}}$

단계 6.8

$18$ 와 $\frac{2 t + 9}{2}$ 을 묶습니다.

$x = \sqrt{\frac{18 (2 t + 9)}{2}}$

단계 6.9

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.9.1

공약수를 소거하여 수식 $\frac{18 (2 t + 9)}{2}$ 을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.9.1.1

$18 (2 t + 9)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x = \sqrt{\frac{2 (9 (2 t + 9))}{2}}$

단계 6.9.1.2

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x = \sqrt{\frac{2 (9 (2 t + 9))}{2 (1)}}$

단계 6.9.1.3

공약수로 약분합니다.

$x = \sqrt{\frac{2 (9 (2 t + 9))}{2 \cdot 1}}$

단계 6.9.1.4

수식을 다시 씁니다.

$x = \sqrt{\frac{9 (2 t + 9)}{1}}$

단계 6.9.2

$9 (2 t + 9)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \sqrt{9 (2 t + 9)}$

단계 6.10

$9 (2 t + 9)$ 을 $3^{2} (2 t + 3^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.10.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \sqrt{3^{2} (2 t + 9)}$

단계 6.10.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \sqrt{3^{2} (2 t + 3^{2})}$

단계 6.11

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = 3 \sqrt{2 t + 3^{2}}$

단계 6.12

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = 3 \sqrt{2 t + 9}$