미적분 예제

$3 x d y - 4 y d x = 0$

단계 1

방정식의 양변에 $4 y d x$ 를 더합니다.

$3 x d y = 4 y d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{x y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x y} (3 x) d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$3 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

단계 3.2

$3$ 와 $\frac{1}{x y}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

단계 3.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$x y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

단계 3.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

단계 3.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3}{y} d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

단계 3.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{3}{y} d y = 4 \frac{1}{x y} y d x$

단계 3.5

$4$ 와 $\frac{1}{x y}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{y} d y = \frac{4}{x y} y d x$

단계 3.6

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$x y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3}{y} d y = \frac{4}{y x} y d x$

단계 3.6.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3}{y} d y = \frac{4}{y x} y d x$

단계 3.6.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3}{y} d y = \frac{4}{x} d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{3}{y} d y = \int \frac{4}{x} d x$

단계 4.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$3$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{4}{x} d x$

단계 4.2.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$3 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{4}{x} d x$

단계 4.2.3

간단히 합니다.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{4}{x} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{x} d x$

단계 4.3.2

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = 4 (\ln (| x |) + C_{2})$

단계 4.3.3

간단히 합니다.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = 4 \ln (| x |) + C_{2}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$3 \ln (| y |) = 4 \ln (| x |) + C$

단계 5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$3 \ln (| y |) - 4 \ln (| x |) = C$

단계 5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$3 \ln (| y |) - 4 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.1

$3$ 를 로그 안으로 옮겨 $3 \ln (| y |)$ 을 간단히 합니다.

$\ln ({| y |}^{3}) - 4 \ln (| x |) = C$

단계 5.2.1.1.2

$4$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 4 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

$\ln ({| y |}^{3}) - \ln ({| x |}^{4}) = C$

단계 5.2.1.1.3

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| x |}^{4}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$\ln ({| y |}^{3}) - \ln (x^{4}) = C$

단계 5.2.1.2

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\ln (\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}}) = C$

단계 5.3

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}})} = e^{C}$

단계 5.4

로그의 정의를 이용하여 $\ln (\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}}) = C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{C} = \frac{{| y |}^{3}}{x^{4}}$

단계 5.5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}} = e^{C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}} = e^{C}$

단계 5.5.2

양변에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}} x^{4} = e^{C} x^{4}$

단계 5.5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.3.1.1

$x^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}} x^{4} = e^{C} x^{4}$

단계 5.5.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

${| y |}^{3} = e^{C} x^{4}$

단계 5.5.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.3.2.1

$e^{C} x^{4}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

${| y |}^{3} = x^{4} e^{C}$

단계 5.5.4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$| y | = \sqrt[3]{x^{4} e^{C}}$

단계 5.5.4.2

$\sqrt[3]{x^{4} e^{C}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.2.1

$x^{4} e^{C}$ 을 $x^{3} (x e^{C})$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.2.1.1

$x^{3}$ 로 인수분해합니다.

$| y | = \sqrt[3]{x^{3} x e^{C}}$

단계 5.5.4.2.1.2

괄호를 표시합니다.

$| y | = \sqrt[3]{x^{3} (x e^{C})}$

단계 5.5.4.2.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$| y | = x \sqrt[3]{x e^{C}}$

단계 5.5.4.3

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y = \pm x \sqrt[3]{x e^{C}}$

단계 6

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \pm x \sqrt[3]{x C}$