미적분 예제

$\frac{d y}{d t} = \frac{8 t^{2}}{9 y}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $y$ 을 곱합니다.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{8 t^{2}}{9 y}$

단계 1.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$9 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{8 t^{2}}{y \cdot 9}$

단계 1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{8 t^{2}}{y \cdot 9}$

단계 1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y \frac{d y}{d t} = \frac{8 t^{2}}{9}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$y d y = \frac{8 t^{2}}{9} d t$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y d y = \int \frac{8 t^{2}}{9} d t$

단계 2.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{8 t^{2}}{9} d t$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$\frac{8}{9}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{8}{9}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{9} \int t^{2} d t$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $t^{2}$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} t^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{9} (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$

단계 2.3.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$\frac{8}{9} (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$ 을 $\frac{8}{9} \cdot \frac{1}{3} t^{3} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{3} t^{3} + C_{2}$

단계 2.3.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.1

$\frac{8}{9}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{9 \cdot 3} t^{3} + C_{2}$

단계 2.3.3.2.2

$9$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{27} t^{3} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{8}{27} t^{3} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{8}{27} t^{3} + K)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{8}{27} t^{3} + K)$

단계 3.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{8}{27} t^{3} + K)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = 2 (\frac{8}{27} t^{3} + K)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$2 (\frac{8}{27} t^{3} + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$\frac{8}{27}$ 와 $t^{3}$ 을 묶습니다.

$y^{2} = 2 (\frac{8 t^{3}}{27} + K)$

단계 3.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} = 2 \frac{8 t^{3}}{27} + 2 K$

단계 3.2.2.1.3

$2 \frac{8 t^{3}}{27}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.3.1

$2$ 와 $\frac{8 t^{3}}{27}$ 을 묶습니다.

$y^{2} = \frac{2 (8 t^{3})}{27} + 2 K$

단계 3.2.2.1.3.2

$8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y^{2} = \frac{16 t^{3}}{27} + 2 K$

단계 3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 t^{3}}{27} + 2 K}$

단계 3.4

$\pm \sqrt{\frac{16 t^{3}}{27} + 2 K}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$\frac{16 t^{3}}{27} + 2 K$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1

$\frac{16 t^{3}}{27}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{8 t^{3}}{27} + 2 K}$

단계 3.4.1.2

$2 K$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{8 t^{3}}{27} + 2 K}$

단계 3.4.1.3

$2 \frac{8 t^{3}}{27} + 2 K$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{8 t^{3}}{27} + K)}$

단계 3.4.2

공통 분모를 가지는 분수로 $K$ 을 표현하기 위해 $\frac{27}{27}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{8 t^{3}}{27} + K \cdot \frac{27}{27})}$

단계 3.4.3

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

$K$ 와 $\frac{27}{27}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{8 t^{3}}{27} + \frac{K \cdot 27}{27})}$

단계 3.4.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{8 t^{3} + K \cdot 27}{27}}$

단계 3.4.4

$K$ 의 왼쪽으로 $27$ 이동하기

$y = \pm \sqrt{2 \frac{8 t^{3} + 27 K}{27}}$

단계 3.4.5

$2$ 와 $\frac{8 t^{3} + 27 K}{27}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{27}}$

단계 3.4.6

$\frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{27}$ 을 ${(\frac{1}{3})}^{2} \frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{3}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.1

$2 (8 t^{3} + 27 K)$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (8 t^{3} + 27 K))}{27}}$

단계 3.4.6.2

$27$ 에서 완전제곱인 $3^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (8 t^{3} + 27 K))}{3^{2} \cdot 3}}$

단계 3.4.6.3

분수 $\frac{1^{2} (2 (8 t^{3} + 27 K))}{3^{2} \cdot 3}$ 를 다시 정렬합니다.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} \frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{3}}$

단계 3.4.7

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{\frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{3}}$

단계 3.4.8

$\sqrt{\frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{3}}$ 을 $\frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{\sqrt{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{\sqrt{3}}$

단계 3.4.9

조합합니다.

$y = \pm \frac{1 \sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \sqrt{3}}$

단계 3.4.10

$\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \sqrt{3}}$

단계 3.4.11

$\frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

단계 3.4.12

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.12.1

$\frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

단계 3.4.12.2

$\sqrt{3}$ 를 옮깁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

단계 3.4.12.3

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

단계 3.4.12.4

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

단계 3.4.12.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

단계 3.4.12.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{2}}$

단계 3.4.12.7

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.12.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 3.4.12.7.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 3.4.12.7.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.4.12.7.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.12.7.4.1

공약수로 약분합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.4.12.7.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{1}}$

단계 3.4.12.7.5

지수값을 계산합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

단계 3.4.13

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.13.1

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K) \cdot 3}}{3 \cdot 3}$

단계 3.4.13.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \cdot 3}$

단계 3.4.14

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

단계 3.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

단계 3.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

단계 3.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

$y = \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

$y = \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + K)}}{9}$