미적분 예제

$(3 x^{2} y^{4} + 2 x y) d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = 3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{4} + 2 x y]$

단계 1.2

합의 법칙에 의해 $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 x y]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 x y]$

단계 1.3

$\frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$3 x^{2}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $3 x^{2} y^{4}$ 의 미분은 $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 x y]$

단계 1.3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [2 x y]$

단계 1.3.3

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{2} y^{3} + \frac{d}{d y} [2 x y]$

단계 1.4

$\frac{d}{d y} [2 x y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.4.1

$2 x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $2 x y$ 의 미분은 $2 x \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{2} y^{3} + 2 x \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{2} y^{3} + 2 x \cdot 1$

단계 1.4.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{2} y^{3} + 2 x$

단계 1.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 y^{3} x^{2} + 2 x$

단계 2

$N (x, y) = 2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{3} - x^{2}]$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$2 y^{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{3} y^{3}$ 의 미분은 $2 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 2.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 2.3.3

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.4.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{3} x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{3} x^{2} - (2 x)$

단계 2.4.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{3} x^{2} - 2 x$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $12 y^{3} x^{2} + 2 x$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $6 y^{3} x^{2} - 2 x$ 을 대입합니다.

$12 y^{3} x^{2} + 2 x = 6 y^{3} x^{2} - 2 x$

단계 3.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$12 y^{3} x^{2} + 2 x = 6 y^{3} x^{2} - 2 x$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $6 y^{3} x^{2} - 2 x$ 를 대입합니다.

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

단계 4.2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $12 y^{3} x^{2} + 2 x$ 를 대입합니다.

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - (12 y^{3} x^{2} + 2 x)}{M}$

단계 4.3

$M$ 에 $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ 를 대입합니다.

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단계 4.3.1

$M$ 에 $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ 를 대입합니다.

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - (12 y^{3} x^{2} + 2 x)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

단계 4.3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - (12 y^{3} x^{2}) - (2 x)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

단계 4.3.2.2

$12$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - 12 (y^{3} x^{2}) - (2 x)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

단계 4.3.2.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - 12 (y^{3} x^{2}) - 2 x}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

단계 4.3.2.4

$6 y^{3} x^{2}$ 에서 $12 y^{3} x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 6 y^{3} x^{2} - 2 x - 2 x}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

단계 4.3.2.5

$- 2 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$\frac{- 6 y^{3} x^{2} - 4 x}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

단계 4.3.2.6

$- 6 y^{3} x^{2} - 4 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.3.2.6.1

$- 6 y^{3} x^{2}$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x) - 4 x}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

단계 4.3.2.6.2

$- 4 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x) + 2 x (- 2)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

단계 4.3.2.6.3

$2 x (- 3 y^{3} x) + 2 x (- 2)$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

단계 4.3.3

$3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ 에서 $x y$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.3.3.1

$3 x^{2} y^{4}$ 에서 $x y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{x y (3 x y^{3}) + 2 x y}$

단계 4.3.3.2

$2 x y$ 에서 $x y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{x y (3 x y^{3}) + x y (2)}$

단계 4.3.3.3

$x y (3 x y^{3}) + x y (2)$ 에서 $x y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{x y (3 x y^{3} + 2)}$

단계 4.3.4

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{x y (3 x y^{3} + 2)}$

단계 4.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 (- 3 y^{3} x - 2)}{y (3 x y^{3} + 2)}$

단계 4.3.5

$- 3 y^{3} x - 2$ 및 $3 x y^{3} + 2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.5.1

$- 3 y^{3} x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (3 y^{3} x) - 2)}{y (3 x y^{3} + 2)}$

단계 4.3.5.2

$- 2$ 을 $- 1 (2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 (- (3 y^{3} x) - 1 (2))}{y (3 x y^{3} + 2)}$

단계 4.3.5.3

$- (3 y^{3} x) - 1 (2)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (3 y^{3} x + 2))}{y (3 x y^{3} + 2)}$

단계 4.3.5.4

$- (3 y^{3} x + 2)$ 을 $- 1 (3 y^{3} x + 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 (- 1 (3 y^{3} x + 2))}{y (3 x y^{3} + 2)}$

단계 4.3.5.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 (- 1 (3 y^{3} x + 2))}{y (3 y^{3} x + 2)}$

단계 4.3.5.6

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (- 1 (3 y^{3} x + 2))}{y (3 y^{3} x + 2)}$

단계 4.3.5.7

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{y}$

단계 4.3.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2}{y}$

단계 4.3.7

$M$ 에 $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ 를 대입합니다.

$- \frac{2}{y}$

단계 4.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

단계 5

적분 $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

단계 5.2

$2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

단계 5.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

단계 5.4

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

단계 5.5

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

단계 5.6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.6.1

$- 2$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 2 \ln (| y |)$ 을 간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

단계 5.6.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

단계 5.6.3

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| y |}^{- 2}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

단계 5.6.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

단계 6

$(3 x^{2} y^{4} + 2 x y) d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $\frac{1}{y^{2}}$ 를 곱합니다.

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단계 6.1

$3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ 에 $\frac{1}{y^{2}}$ 을 곱합니다.

$(3 x^{2} y^{4} + 2 x y) \frac{1}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

단계 6.2

$3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ 에 $\frac{1}{y^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

단계 6.3

$3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ 에서 $x y$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.3.1

$3 x^{2} y^{4}$ 에서 $x y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x y (3 x y^{3}) + 2 x y}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

단계 6.3.2

$2 x y$ 에서 $x y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x y (3 x y^{3}) + x y (2)}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

단계 6.3.3

$x y (3 x y^{3}) + x y (2)$ 에서 $x y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x y (3 x y^{3} + 2)}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

단계 6.4

$y$ 및 $y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.4.1

$x y (3 x y^{3} + 2)$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y (x (3 x y^{3} + 2))}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

단계 6.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 6.4.2.1

$y^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y (x (3 x y^{3} + 2))}{y \cdot y} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

단계 6.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{y (x (3 x y^{3} + 2))}{y \cdot y} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

단계 6.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

단계 6.5

$2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ 에 $\frac{1}{y^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

단계 6.6

$2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ 에 $\frac{1}{y^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + \frac{2 x^{3} y^{3} - x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

단계 6.7

$2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.7.1

$2 x^{3} y^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + \frac{x^{2} (2 x y^{3}) - x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

단계 6.7.2

$- x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + \frac{x^{2} (2 x y^{3}) + x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} d y = 0$

단계 6.7.3

$x^{2} (2 x y^{3}) + x^{2} \cdot - 1$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}} d y = 0$

단계 7

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int \frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x$

단계 8

$M (x, y) = \frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 8.1

$\frac{1}{y}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{y}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int x (3 x y^{3} + 2) d x$

단계 8.2

$x (3 x y^{3} + 2)$ 을 전개합니다.

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단계 8.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int x (3 x y^{3}) + x \cdot 2 d x$

단계 8.2.2

괄호를 옮깁니다.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int x (3 x) y^{3} + x \cdot 2 d x$

단계 8.2.3

괄호를 제거합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int x \cdot 3 x y^{3} + x \cdot 2 d x$

단계 8.2.4

$x$ 와 $3$ 을 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 \cdot x \cdot x y^{3} + x \cdot 2 d x$

단계 8.2.5

$x$ 와 $2$ 을 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 x \cdot x y^{3} + 2 x d x$

단계 8.2.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 (x^{1} x) y^{3} + 2 x d x$

단계 8.2.7

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 (x^{1} x^{1}) y^{3} + 2 x d x$

단계 8.2.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 x^{1 + 1} y^{3} + 2 x d x$

단계 8.2.9

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 x^{2} y^{3} + 2 x d x$

단계 8.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (\int 3 x^{2} y^{3} d x + \int 2 x d x)$

단계 8.4

$3 y^{3}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3 y^{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (3 y^{3} \int x^{2} d x + \int 2 x d x)$

단계 8.5

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 2 x d x)$

단계 8.6

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 \int x d x)$

단계 8.7

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

단계 8.8

간단히 합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + C$

단계 9

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + g (y)$

단계 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

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단계 11.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

단계 11.2

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

단계 11.3

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2})]$ 의 값을 구합니다.

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단계 11.3.1

$f (y) = \frac{1}{y}$ , $g (y) = y^{3} x^{3} + x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d}{d y} [y^{3} x^{3} + x^{2}] + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

단계 11.3.2

합의 법칙에 의해 $y^{3} x^{3} + x^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{y} (\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [x^{2}]) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

단계 11.3.3

$x^{3}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $y^{3} x^{3}$ 의 미분은 $x^{3} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ 입니다.

$\frac{1}{y} (x^{3} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [x^{2}]) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

단계 11.3.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{y} (x^{3} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [x^{2}]) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

단계 11.3.5

$x^{2}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x^{2}$ 입니다.

$\frac{1}{y} (x^{3} (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

단계 11.3.6

$\frac{1}{y}$ 을 $y^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{y} (x^{3} (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

단계 11.3.7

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{y} (x^{3} (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

단계 11.3.8

$x^{3}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{1}{y} (3 \cdot x^{3} y^{2} + 0) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

단계 11.3.9

$3 x^{3} y^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{y} (3 x^{3} y^{2}) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

단계 11.3.10

$3$ 와 $\frac{1}{y}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{y} (x^{3} y^{2}) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

단계 11.3.11

$x^{3}$ 와 $\frac{3}{y}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{3} \cdot 3}{y} y^{2} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

단계 11.3.12

$\frac{x^{3} \cdot 3}{y}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{3} \cdot 3 y^{2}}{y} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

단계 11.3.13

$x^{3}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{3 \cdot x^{3} y^{2}}{y} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

단계 11.3.14

$y^{2}$ 및 $y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.14.1

$3 x^{3} y^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y (3 x^{3} y)}{y} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

단계 11.3.14.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.14.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{y (3 x^{3} y)}{y^{1}} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

단계 11.3.14.2.2

$y^{1}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y (3 x^{3} y)}{y \cdot 1} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

단계 11.3.14.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{y (3 x^{3} y)}{y \cdot 1} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

단계 11.3.14.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 x^{3} y}{1} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

단계 11.3.14.2.5

$3 x^{3} y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3 x^{3} y + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

단계 11.4

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$3 x^{3} y + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

단계 11.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$3 x^{3} y + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

단계 11.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$3 x^{3} y + y^{3} x^{3} (- \frac{1}{y^{2}}) + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

단계 11.5.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.5.3.1

$y^{3}$ 와 $\frac{1}{y^{2}}$ 을 묶습니다.

$3 x^{3} y + x^{3} (- \frac{y^{3}}{y^{2}}) + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

단계 11.5.3.2

$x^{3}$ 와 $\frac{y^{3}}{y^{2}}$ 을 묶습니다.

$3 x^{3} y - \frac{x^{3} y^{3}}{y^{2}} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

단계 11.5.3.3

$y^{3}$ 및 $y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.5.3.3.1

$x^{3} y^{3}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$3 x^{3} y - \frac{y^{2} (x^{3} y)}{y^{2}} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

단계 11.5.3.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.5.3.3.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$3 x^{3} y - \frac{y^{2} (x^{3} y)}{y^{2} \cdot 1} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

단계 11.5.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$3 x^{3} y - \frac{y^{2} (x^{3} y)}{y^{2} \cdot 1} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

단계 11.5.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$3 x^{3} y - \frac{x^{3} y}{1} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

단계 11.5.3.3.2.4

$x^{3} y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3 x^{3} y - (x^{3} y) + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

단계 11.5.3.4

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{y^{2}}$ 을 묶습니다.

$3 x^{3} y - x^{3} y - \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

단계 11.5.3.5

$3 x^{3} y$ 에서 $x^{3} y$ 을 뺍니다.

$2 x^{3} y - \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

단계 11.5.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y - \frac{x^{2}}{y^{2}} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

단계 12

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

변수를 포함한 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1

방정식의 양변에서 $\frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y - \frac{x^{2}}{y^{2}} - \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}} = 0$

단계 12.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}} = 0$

단계 12.1.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{2} (2 x y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

단계 12.1.3.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.3.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - (x \cdot x^{2}) (2 y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

단계 12.1.3.2.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.3.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - (x^{1} x^{2}) (2 y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

단계 12.1.3.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{1 + 2} (2 y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

단계 12.1.3.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{3} (2 y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

단계 12.1.3.3

$- x^{2} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.3.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{3} (2 y^{3}) + 1 x^{2}}{y^{2}} = 0$

단계 12.1.3.3.2

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{3} (2 y^{3}) + x^{2}}{y^{2}} = 0$

단계 12.1.3.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.3.4.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - 1 \cdot 2 x^{3} y^{3} + x^{2}}{y^{2}} = 0$

단계 12.1.3.4.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - 2 x^{3} y^{3} + x^{2}}{y^{2}} = 0$

단계 12.1.4

$- x^{2} - 2 x^{3} y^{3} + x^{2}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.4.1

$- x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- 2 x^{3} y^{3} + 0}{y^{2}} = 0$

단계 12.1.4.2

$- 2 x^{3} y^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- 2 x^{3} y^{3}}{y^{2}} = 0$

단계 12.1.5

$y^{3}$ 및 $y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.5.1

$- 2 x^{3} y^{3}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{y^{2} (- 2 x^{3} y)}{y^{2}} = 0$

단계 12.1.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.5.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{y^{2} (- 2 x^{3} y)}{y^{2} \cdot 1} = 0$

단계 12.1.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{y^{2} (- 2 x^{3} y)}{y^{2} \cdot 1} = 0$

단계 12.1.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- 2 x^{3} y}{1} = 0$

단계 12.1.5.2.4

$- 2 x^{3} y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y - 2 x^{3} y = 0$

단계 12.1.6

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y - 2 x^{3} y$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.6.1

$2 x^{3} y$ 에서 $2 x^{3} y$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} + 0 = 0$

단계 12.1.6.2

$\frac{d g}{d y}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = 0$

단계 13

$0$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$\frac{d g}{d y} = 0$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

단계 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int 0 d y$

단계 13.3

$0$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $0$ 입니다.

$g (y) = 0 + C$

단계 13.4

$0$ 를 $C$ 에 더합니다.

$g (y) = C$

단계 14

$f (x, y) = \frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + C$

단계 15

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

$\frac{1}{y}$ 에 $y^{3} x^{3} + x^{2}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{y^{3} x^{3} + x^{2}}{y} + C$

단계 15.2

$y^{3} x^{3} + x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

$y^{3} x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{3} x) + x^{2}}{y} + C$

단계 15.2.2

$1$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{3} x) + x^{2} \cdot 1}{y} + C$

단계 15.2.3

$x^{2} (y^{3} x) + x^{2} \cdot 1$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{3} x + 1)}{y} + C$