미적분 예제

$(2 x e^{3 y} + e^{x}) d x + (3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = 2 x e^{3 y} + e^{x}$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x e^{3 y} + e^{x}]$

단계 1.2

합의 법칙에 의해 $2 x e^{3 y} + e^{x}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [2 x e^{3 y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x e^{3 y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d y} [2 x e^{3 y}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$2 x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $2 x e^{3 y}$ 의 미분은 $2 x \frac{d}{d y} [e^{3 y}]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [e^{3 y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

단계 1.3.2

$f (y) = e^{y}$ , $g (y) = 3 y$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 y$ 로 바꿉니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

단계 1.3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{u} \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

단계 1.3.2.3

$u$ 를 모두 $3 y$ 로 바꿉니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{3 y} \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

단계 1.3.3

$3$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $3 y$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{3 y} (3 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

단계 1.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{3 y} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

단계 1.3.5

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{3 y} \cdot 3) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

단계 1.3.6

$e^{3 y}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (3 \cdot e^{3 y}) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

단계 1.3.7

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x e^{3 y} + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

단계 1.4

$e^{x}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $e^{x}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $e^{x}$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x e^{3 y} + 0$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$6 x e^{3 y}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x e^{3 y}$

단계 1.5.2

$6 x e^{3 y}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 e^{3 y} x$

단계 1.5.3

$6 e^{3 y} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x e^{3 y}$

단계 2

$N (x, y) = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}]$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 y}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 y}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 y}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$3 e^{3 y}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2} e^{3 y}$ 의 미분은 $3 e^{3 y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{3 y} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

단계 2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{3 y} (2 x) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

단계 2.3.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 e^{3 y} x + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

단계 2.4

$- y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- y^{2}$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 e^{3 y} x + 0$

단계 2.5

간단히 합니다.

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단계 2.5.1

$6 e^{3 y} x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 e^{3 y} x$

단계 2.5.2

$6 e^{3 y} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x e^{3 y}$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $6 x e^{3 y}$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $6 x e^{3 y}$ 을 대입합니다.

$6 x e^{3 y} = 6 x e^{3 y}$

단계 3.2

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$6 x e^{3 y} = 6 x e^{3 y}$ 은 항등식입니다.

단계 4

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int 2 x e^{3 y} + e^{x} d x$

단계 5

$M (x, y) = 2 x e^{3 y} + e^{x}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 5.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$f (x, y) = \int 2 x e^{3 y} d x + \int e^{x} d x$

단계 5.2

$2 e^{3 y}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2 e^{3 y}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = 2 e^{3 y} \int x d x + \int e^{x} d x$

단계 5.3

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = 2 e^{3 y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int e^{x} d x$

단계 5.4

$e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $e^{x}$ 입니다.

$f (x, y) = 2 e^{3 y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + e^{x} + C$

단계 5.5

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = 2 e^{3 y} (\frac{x^{2}}{2} + C) + e^{x} + C$

단계 5.6

간단히 합니다.

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} + C$

단계 6

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} + g (y)$

단계 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

단계 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

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단계 8.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [e^{3 y} x^{2} + e^{x} + g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

단계 8.2

합의 법칙에 의해 $e^{3 y} x^{2} + e^{x} + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [e^{3 y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [e^{3 y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

단계 8.3

$\frac{d}{d y} [e^{3 y} x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 8.3.1

$x^{2}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $e^{3 y} x^{2}$ 의 미분은 $x^{2} \frac{d}{d y} [e^{3 y}]$ 입니다.

$x^{2} \frac{d}{d y} [e^{3 y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

단계 8.3.2

$f (y) = e^{y}$ , $g (y) = 3 y$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 8.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 y$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

단계 8.3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

단계 8.3.2.3

$u$ 를 모두 $3 y$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (e^{3 y} \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

단계 8.3.3

$3$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $3 y$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$x^{2} (e^{3 y} (3 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

단계 8.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (e^{3 y} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

단계 8.3.5

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} (e^{3 y} \cdot 3) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

단계 8.3.6

$e^{3 y}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$x^{2} (3 \cdot e^{3 y}) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

단계 8.3.7

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$3 x^{2} e^{3 y} + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

단계 8.4

$e^{x}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $e^{x}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $e^{x}$ 입니다.

$3 x^{2} e^{3 y} + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

단계 8.5

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$3 x^{2} e^{3 y} + 0 + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

단계 8.6

간단히 합니다.

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단계 8.6.1

$3 x^{2} e^{3 y}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 x^{2} e^{3 y} + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

단계 8.6.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} + 3 e^{3 y} x^{2} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

단계 8.6.3

$\frac{d g}{d y} + 3 e^{3 y} x^{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} e^{3 y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

단계 9

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.1

$\frac{d g}{d y}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 9.1.1

방정식의 양변에서 $3 x^{2} e^{3 y}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2} - 3 x^{2} e^{3 y}$

단계 9.1.2

$3 x^{2} e^{3 y} - y^{2} - 3 x^{2} e^{3 y}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 9.1.2.1

$3 x^{2} e^{3 y}$ 에서 $3 x^{2} e^{3 y}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = - y^{2} + 0$

단계 9.1.2.2

$- y^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = - y^{2}$

단계 10

$- y^{2}$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

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단계 10.1

$\frac{d g}{d y} = - y^{2}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y^{2} d y$

단계 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int - y^{2} d y$

단계 10.3

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (y) = - \int y^{2} d y$

단계 10.4

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$g (y) = - (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

단계 10.5

$- (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ 을 $- \frac{1}{3} y^{3} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$g (y) = - \frac{1}{3} y^{3} + C$

단계 11

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} - \frac{1}{3} y^{3} + C$

단계 12

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} - \frac{1}{3} y^{3} + C$ 을 간단히 합니다.

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단계 12.1

$y^{3}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} - \frac{y^{3}}{3} + C$

단계 12.2

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} - \frac{y^{3}}{3} + C$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = x^{2} e^{3 y} + e^{x} - \frac{y^{3}}{3} + C$