미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{12 y}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $y$ 을 곱합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2}}{12 y}$

단계 1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

$12 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2}}{y \cdot 12}$

단계 1.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2}}{y \cdot 12}$

단계 1.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{12}$

단계 1.2.2

$3$ 및 $12$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$3 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 (x^{2})}{12}$

단계 1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.2.1

$12$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 4}$

단계 1.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 4}$

단계 1.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$y d y = \frac{x^{2}}{4} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y d y = \int \frac{x^{2}}{4} d x$

단계 2.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{4} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int x^{2} d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

단계 2.3.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ 을 $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

단계 2.3.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.1

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4 \cdot 3} x^{3} + C_{2}$

단계 2.3.3.2.2

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{12} x^{3} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{12} x^{3} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{12} x^{3} + K)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{12} x^{3} + K)$

단계 3.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{12} x^{3} + K)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} x^{3} + K)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$2 (\frac{1}{12} x^{3} + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$\frac{1}{12}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{12} + K)$

단계 3.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{12} + 2 K$

단계 3.2.2.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.3.1

$12$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{2 (6)} + 2 K$

단계 3.2.2.1.3.2

공약수로 약분합니다.

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{2 \cdot 6} + 2 K$

단계 3.2.2.1.3.3

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = \frac{x^{3}}{6} + 2 K$

단계 3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{6} + 2 K}$

단계 3.4

$\pm \sqrt{\frac{x^{3}}{6} + 2 K}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 K$ 을 표현하기 위해 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{6} + 2 K \cdot \frac{6}{6}}$

단계 3.4.2

$2 K$ 와 $\frac{6}{6}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{6} + \frac{2 K \cdot 6}{6}}$

단계 3.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + 2 K \cdot 6}{6}}$

단계 3.4.4

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + 12 K}{6}}$

단계 3.4.5

$\sqrt{\frac{x^{3} + 12 K}{6}}$ 을 $\frac{\sqrt{x^{3} + 12 K}}{\sqrt{6}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 12 K}}{\sqrt{6}}$

단계 3.4.6

$\frac{\sqrt{x^{3} + 12 K}}{\sqrt{6}}$ 에 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 12 K}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

단계 3.4.7

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.7.1

$\frac{\sqrt{x^{3} + 12 K}}{\sqrt{6}}$ 에 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 12 K} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

단계 3.4.7.2

$\sqrt{6}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 12 K} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

단계 3.4.7.3

$\sqrt{6}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 12 K} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

단계 3.4.7.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 12 K} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

단계 3.4.7.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 12 K} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

단계 3.4.7.6

${\sqrt{6}}^{2}$ 을 $6$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{6}$ 을(를) $6^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 12 K} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 3.4.7.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 12 K} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 3.4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 12 K} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.4.7.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.7.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 12 K} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.4.7.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 12 K} \sqrt{6}}{6^{1}}$

단계 3.4.7.6.5

지수값을 계산합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 12 K} \sqrt{6}}{6}$

단계 3.4.8

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{3} + 12 K) \cdot 6}}{6}$

단계 3.4.9

$\pm \frac{\sqrt{(x^{3} + 12 K) \cdot 6}}{6}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 12 K)}}{6}$

단계 3.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 12 K)}}{6}$

단계 3.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 12 K)}}{6}$

단계 3.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 12 K)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 12 K)}}{6}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 12 K)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 12 K)}}{6}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 12 K)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 12 K)}}{6}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{6}$