미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y - y}{y + 1}$ , $y (3) = 1$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$x^{2} y - y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

$x^{2} y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} - y}{y + 1}$

단계 1.1.1.2

$- y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} + y \cdot - 1}{y + 1}$

단계 1.1.1.3

$y x^{2} + y \cdot - 1$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 1)}{y + 1}$

단계 1.1.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 1^{2})}{y + 1}$

단계 1.1.3

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y ((x + 1) (x - 1))}{y + 1}$

단계 1.1.3.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1) (x - 1)}{y + 1}$

단계 1.2

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = (x + 1) (x - 1) \frac{y}{y + 1}$

단계 1.3

양변에 $\frac{y + 1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x + 1) (x - 1) \frac{y}{y + 1})$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + 1) (x - 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x (x - 1) + 1 (x - 1)) \frac{y}{y + 1})$

단계 1.4.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) \frac{y}{y + 1})$

단계 1.4.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

단계 1.4.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

단계 1.4.2.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

단계 1.4.2.1.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

단계 1.4.2.1.4

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

단계 1.4.2.1.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - x + x - 1) \frac{y}{y + 1})$

단계 1.4.2.2

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} + 0 - 1) \frac{y}{y + 1})$

단계 1.4.2.3

$x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - 1) \frac{y}{y + 1})$

단계 1.4.3

$x^{2} - 1$ 에 $\frac{y}{y + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} \cdot \frac{(x^{2} - 1) y}{y + 1}$

단계 1.4.4

$y + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} \cdot \frac{(x^{2} - 1) y}{y + 1}$

단계 1.4.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} ((x^{2} - 1) y)$

단계 1.4.5

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.5.1

$(x^{2} - 1) y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{2} - 1))$

단계 1.4.5.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{2} - 1))$

단계 1.4.5.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1$

단계 1.5

식을 다시 씁니다.

$\frac{y + 1}{y} d y = (x^{2} - 1) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{y + 1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$\int \frac{y}{y} + \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

단계 2.2.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

단계 2.2.3

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

단계 2.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\int d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

단계 2.2.4

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

단계 2.2.5

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$y + C_{1} + \ln (| y |) + C_{2} = \int x^{2} - 1 d x$

단계 2.2.6

간단히 합니다.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{2} - 1 d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int - 1 d x$

단계 2.3.3

상수 규칙을 적용합니다.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} - x + C_{5}$

단계 2.3.4

간단히 합니다.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{6}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ 에서 $x$ 에 $3$ 을, $y$ 에 $1$ 를 대입하여 $C$ 값을 구합니다.

$1 + \ln (| 1 |) = \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C$

단계 4

$C$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

단계 4.2

$\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1.1

$3^{3}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

단계 4.2.1.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

단계 4.2.1.1.3

수식을 다시 씁니다.

$3^{2} - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

단계 4.2.1.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$9 - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

단계 4.2.1.3

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$9 - 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

단계 4.2.2

$9$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$6 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

단계 4.3

$1 + \ln (| 1 |)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$6 + C = 1 + \ln (1)$

단계 4.3.1.2

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$6 + C = 1 + 0$

단계 4.3.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$6 + C = 1$

단계 4.4

$C$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

방정식의 양변에서 $6$ 를 뺍니다.

$C = 1 - 6$

단계 4.4.2

$1$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$C = - 5$

단계 5

$y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ 의 $C$ 에 $- 5$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$C$ 에 $- 5$ 를 대입합니다.

$y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x - 5$

단계 5.2

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$y + \ln (| y |) = \frac{x^{3}}{3} - x - 5$