미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = 2 e^{x} + y$

단계 1

방정식의 양변에서 $y$ 를 뺍니다.

$\frac{d y}{d x} - y = 2 e^{x}$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = - 1$ 입니다.

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단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int - 1 d x}$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{- x + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{- x}$

단계 3

각 항에 적분 인수 $e^{- x}$ 을 곱합니다.

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단계 3.1

각 항에 $e^{- x}$ 을 곱합니다.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (2 e^{x})$

단계 3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (2 e^{x})$

단계 3.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 2 e^{- x} e^{x}$

단계 3.4

지수를 더하여 $e^{- x}$ 에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.1

$e^{x}$ 를 옮깁니다.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 2 (e^{x} e^{- x})$

단계 3.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 2 e^{x - x}$

단계 3.4.3

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 2 e^{0}$

단계 3.5

$2 e^{0}$ 을 간단히 합니다.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 2$

단계 3.6

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 2$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = 2$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = 2$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int 2 d x$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$e^{- x} y = \int 2 d x$

단계 7

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{- x} y = 2 x + C$

단계 8

$e^{- x} y = 2 x + C$ 의 각 항을 $e^{- x}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 8.1

$e^{- x} y = 2 x + C$ 의 각 항을 $e^{- x}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{2 x}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

단계 8.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$e^{- x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{2 x}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

단계 8.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{2 x}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$