미적분 예제

$\frac{d y}{d t} = - 2 t y + 4 e^{- t^{2}}$ , $y (0) = 3$

단계 1

방정식의 양변에 $2 t y$ 를 더합니다.

$\frac{d y}{d t} + 2 t y = 4 e^{- t^{2}}$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (t) d t}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (t) = 2 t$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int 2 t d t}$

단계 2.2

$2 t$ 를 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$2$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{2 \int t d t}$

단계 2.2.2

멱의 법칙에 의해 $t$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} t^{2}$ 가 됩니다.

$e^{2 (\frac{1}{2} t^{2} + C)}$

단계 2.2.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$2 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$ 을 $2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C}$

단계 2.2.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.2.1

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{2}{2} t^{2} + C}$

단계 2.2.3.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$e^{\frac{2}{2} t^{2} + C}$

단계 2.2.3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{1 t^{2} + C}$

단계 2.2.3.2.3

$t^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{t^{2} + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{t^{2}}$

단계 3

각 항에 적분 인수 $e^{t^{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 항에 $e^{t^{2}}$ 을 곱합니다.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + e^{t^{2}} (2 t y) = e^{t^{2}} (4 e^{- t^{2}})$

단계 3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = e^{t^{2}} (4 e^{- t^{2}})$

단계 3.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 e^{t^{2}} e^{- t^{2}}$

단계 3.4

지수를 더하여 $e^{t^{2}}$ 에 $e^{- t^{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$e^{- t^{2}}$ 를 옮깁니다.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 (e^{- t^{2}} e^{t^{2}})$

단계 3.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 e^{- t^{2} + t^{2}}$

단계 3.4.3

$- t^{2}$ 를 $t^{2}$ 에 더합니다.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 e^{0}$

단계 3.5

$4 e^{0}$ 을 간단히 합니다.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4$

단계 3.6

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 t y e^{t^{2}} = 4$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d t} [e^{t^{2}} y] = 4$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t^{2}} y] d t = \int 4 d t$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$e^{t^{2}} y = \int 4 d t$

단계 7

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{t^{2}} y = 4 t + C$

단계 8

$e^{t^{2}} y = 4 t + C$ 의 각 항을 $e^{t^{2}}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$e^{t^{2}} y = 4 t + C$ 의 각 항을 $e^{t^{2}}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{t^{2}} y}{e^{t^{2}}} = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$

단계 8.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$e^{t^{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{t^{2}} y}{e^{t^{2}}} = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$

단계 8.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$

단계 9

초기 조건을 활용하여 $y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$ 에서 $t$ 에 $0$ 을, $y$ 에 $3$ 를 대입하여 $C$ 값을 구합니다.

$3 = \frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}}$

단계 10

$C$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$\frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 3$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 3$

단계 10.2

$\frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4 \cdot 0 + C}{e^{0^{2}}} = 3$

단계 10.2.1.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1.2.1

$4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0 + C}{e^{0^{2}}} = 3$

단계 10.2.1.2.2

$0$ 를 $C$ 에 더합니다.

$\frac{C}{e^{0^{2}}} = 3$

단계 10.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{C}{e^{0}} = 3$

단계 10.2.2.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{C}{1} = 3$

단계 10.2.3

$C$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$C = 3$

단계 11

$y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$ 의 $C$ 에 $3$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$C$ 에 $3$ 를 대입합니다.

$y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{3}{e^{t^{2}}}$