미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = 4 x - 7$ , $y (3) = 0$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = (4 x - 7) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int 4 x - 7 d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int 4 x - 7 d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y + C_{1} = \int 4 x d x + \int - 7 d x$

단계 2.3.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = 4 \int x d x + \int - 7 d x$

단계 2.3.3

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 7 d x$

단계 2.3.4

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 7 x + C_{3}$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

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단계 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 7 x + C_{3}$

단계 2.3.5.2

간단히 합니다.

$y + C_{1} = 2 x^{2} - 7 x + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = 2 x^{2} - 7 x + K$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $y = 2 x^{2} - 7 x + K$ 에서 $x$ 에 $3$ 을, $y$ 에 $0$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$0 = 2 \cdot 3^{2} - 7 \cdot 3 + K$

단계 4

$K$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.1

$2 \cdot 3^{2} - 7 \cdot 3 + K = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$2 \cdot 3^{2} - 7 \cdot 3 + K = 0$

단계 4.2

$2 \cdot 3^{2} - 7 \cdot 3 + K$ 을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$2 \cdot 9 - 7 \cdot 3 + K = 0$

단계 4.2.1.2

$2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$18 - 7 \cdot 3 + K = 0$

단계 4.2.1.3

$- 7$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$18 - 21 + K = 0$

단계 4.2.2

$18$ 에서 $21$ 을 뺍니다.

$- 3 + K = 0$

단계 4.3

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$K = 3$

단계 5

$y = 2 x^{2} - 7 x + K$ 의 $K$ 에 $3$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$K$ 에 $3$ 를 대입합니다.

$y = 2 x^{2} - 7 x + 3$