미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}$ , $y (4) = 3$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $y$ 을 곱합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x}{y})$

단계 1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x}{y}$

단계 1.2.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$- y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x}{y}$

단계 1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x}{y}$

단계 1.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y \frac{d y}{d x} = - x$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$y d y = - x d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y d y = \int - x d x$

단계 2.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

단계 2.3.3

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ 을 $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

단계 3.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + K)$

단계 3.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 K$

단계 3.2.2.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.3.1

$- \frac{x^{2}}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 K$

단계 3.2.2.1.3.2

공약수로 약분합니다.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 K$

단계 3.2.2.1.3.3

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = - x^{2} + 2 K$

단계 3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

단계 3.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

단계 3.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

단계 3.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \sqrt{- x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + K}$

단계 5

$y$ 가 초기 조건 $(4, 3)$ 에서 양수이므로 $y = \sqrt{- x^{2} + K}$ 만 고려하여 $K$ 를 구합니다. $x$ 에 $4$ 를 대입하고 $y$ 에 $3$ 를 대입합니다.

$3 = \sqrt{- 4^{2} + K}$

단계 6

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\sqrt{- 4^{2} + K} = 3$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\sqrt{- 4^{2} + K} = 3$

단계 6.2

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 제곱합니다.

${\sqrt{- 4^{2} + K}}^{2} = 3^{2}$

단계 6.3

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{- 4^{2} + K}$ 을(를) ${(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

${({(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 3^{2}$

단계 6.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

${({(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.1

${({(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

${(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

단계 6.3.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

${(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

단계 6.3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

${(- 4^{2} + K)}^{1} = 3^{2}$

단계 6.3.2.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.2.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

${(- 1 \cdot 16 + K)}^{1} = 3^{2}$

단계 6.3.2.1.2.2

$- 1$ 에 $16$ 을 곱합니다.

${(- 16 + K)}^{1} = 3^{2}$

단계 6.3.2.1.3

간단히 합니다.

$- 16 + K = 3^{2}$

단계 6.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 16 + K = 9$

단계 6.4

$K$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

방정식의 양변에 $16$ 를 더합니다.

$K = 9 + 16$

단계 6.4.2

$9$ 를 $16$ 에 더합니다.

$K = 25$

단계 7

$y = \sqrt{- x^{2} + K}$ 의 $K$ 에 $25$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$K$ 에 $25$ 를 대입합니다.

$y = \sqrt{- x^{2} + 25}$

단계 7.2

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \sqrt{- x^{2} + 5^{2}}$

단계 7.3

$- x^{2}$ 와 $5^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \sqrt{5^{2} - x^{2}}$

단계 7.4

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 5$ 이고 $b = x$ 입니다.

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$