미적분 예제

$x \frac{d y}{d x} - 4 y = 5 x^{4} e^{x}$

단계 1

$\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$x \frac{d y}{d x} - 4 y = 5 x^{4} e^{x}$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{5 x^{4} e^{x}}{x}$

단계 1.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{5 x^{4} e^{x}}{x}$

단계 1.2.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{5 x^{4} e^{x}}{x}$

단계 1.3

$x^{4}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$5 x^{4} e^{x}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{x (5 x^{3} e^{x})}{x}$

단계 1.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{x (5 x^{3} e^{x})}{x^{1}}$

단계 1.3.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{x (5 x^{3} e^{x})}{x \cdot 1}$

단계 1.3.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{x (5 x^{3} e^{x})}{x \cdot 1}$

단계 1.3.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{5 x^{3} e^{x}}{1}$

단계 1.3.2.5

$5 x^{3} e^{x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = 5 x^{3} e^{x}$

단계 1.4

$\frac{- 4 y}{x}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 4}{x} = 5 x^{3} e^{x}$

단계 1.5

$y$ 와 $\frac{- 4}{x}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4}{x} y = 5 x^{3} e^{x}$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = \frac{- 4}{x}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int \frac{- 4}{x} d x}$

단계 2.2

$\frac{- 4}{x}$ 를 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

단계 2.2.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

단계 2.2.3

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

단계 2.2.4

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

단계 2.2.5

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

단계 2.2.6

간단히 합니다.

$e^{- 4 \ln (| x |) + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{- 4 \ln (x)}$

단계 2.4

로그 멱의 법칙을 사용합니다.

$e^{\ln (x^{- 4})}$

단계 2.5

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$x^{- 4}$

단계 2.6

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x^{4}}$

단계 3

각 항에 적분 인수 $\frac{1}{x^{4}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 항에 $\frac{1}{x^{4}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{4}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{4}} (\frac{- 4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

단계 3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$\frac{1}{x^{4}}$ 와 $\frac{d y}{d x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} (\frac{- 4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

단계 3.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} (- \frac{4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

단계 3.2.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{1}{x^{4}} (\frac{4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

단계 3.2.4

$\frac{4}{x}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{4 y}{x} = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

단계 3.2.5

$- \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{4 y}{x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.1

$\frac{4 y}{x}$ 에 $\frac{1}{x^{4}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x \cdot x^{4}} = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

단계 3.2.5.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.2.1

$x$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.2.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{1} x^{4}} = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

단계 3.2.5.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{1 + 4}} = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

단계 3.2.5.2.2

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

단계 3.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = 5 \frac{1}{x^{4}} (x^{3} e^{x})$

단계 3.4

$5$ 와 $\frac{1}{x^{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{5}{x^{4}} (x^{3} e^{x})$

단계 3.5

$x^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$x^{4}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{5}{x^{3} x} (x^{3} e^{x})$

단계 3.5.2

$x^{3} e^{x}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{5}{x^{3} x} (x^{3} (e^{x}))$

단계 3.5.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{5}{x^{3} x} (x^{3} e^{x})$

단계 3.5.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{5}{x} e^{x}$

단계 3.6

$\frac{5}{x}$ 와 $e^{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{5 e^{x}}{x}$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} y] = \frac{5 e^{x}}{x}$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} y] d x = \int \frac{5 e^{x}}{x} d x$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$\frac{1}{x^{4}} y = \int \frac{5 e^{x}}{x} d x$

단계 7

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{x^{4}} y = 5 \int \frac{e^{x}}{x} d x$

단계 7.2

$\int \frac{e^{x}}{x} d x$ 은 특수한 적분입니다. 해당 적분은 지수적분함수입니다.

$\frac{1}{x^{4}} y = 5 (E i (x) + C)$

단계 7.3

간단히 합니다.

$\frac{1}{x^{4}} y = 5 E i (x) + C$

단계 8

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$\frac{1}{x^{4}}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{y}{x^{4}} = 5 E i x + C$

단계 8.2

양변에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{x^{4}} x^{4} = (5 E i x + C) x^{4}$

단계 8.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1

$x^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y}{x^{4}} x^{4} = (5 E i x + C) x^{4}$

단계 8.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y = (5 E i x + C) x^{4}$

단계 8.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1

$(5 E i x + C) x^{4}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = 5 E i x \cdot x^{4} + C x^{4}$

단계 8.3.2.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1.2.1

$x^{4}$ 를 옮깁니다.

$y = 5 E i (x^{4} x) + C x^{4}$

단계 8.3.2.1.2.2

$x^{4}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = 5 E i (x^{4} x^{1}) + C x^{4}$

단계 8.3.2.1.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = 5 E i x^{4 + 1} + C x^{4}$

단계 8.3.2.1.2.3

$4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = 5 E i x^{5} + C x^{4}$

단계 8.3.2.1.3

$i$ 를 옮깁니다.

$y = 5 E x^{5} i + C x^{4}$

단계 8.3.2.1.4

$E$ 를 옮깁니다.

$y = 5 x^{5} E i + C x^{4}$