미적분 예제

$x y \frac{d y}{d x} + 3 = 0$ , $f (2) = 1$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{d y}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x y \frac{d y}{d x} = - 3$

단계 1.1.2

$x y \frac{d y}{d x} = - 3$ 의 각 항을 $x y$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$x y \frac{d y}{d x} = - 3$ 의 각 항을 $x y$ 로 나눕니다.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 3}{x y}$

단계 1.1.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 3}{x y}$

단계 1.1.2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 3}{x y}$

단계 1.1.2.2.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 3}{x y}$

단계 1.1.2.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 3}{x y}$

단계 1.1.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{x y}$

단계 1.2

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{y}$

단계 1.3

양변에 $y$ 을 곱합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{y})$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y \frac{d y}{d x} = - y (\frac{3}{x} \cdot \frac{1}{y})$

단계 1.4.2

$\frac{3}{x}$ 에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{3}{x y}$

단계 1.4.3

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.3.1

$- y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3}{x y}$

단계 1.4.3.2

$x y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3}{y x}$

단계 1.4.3.3

공약수로 약분합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3}{y x}$

단계 1.4.3.4

수식을 다시 씁니다.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{3}{x}$

단계 1.5

식을 다시 씁니다.

$y d y = - \frac{3}{x} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y d y = \int - \frac{3}{x} d x$

단계 2.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{3}{x} d x$

단계 2.3.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (3 \int \frac{1}{x} d x)$

단계 2.3.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.3.4

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 \ln (| x |) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} = - 3 \ln (| x |) + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

단계 3.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$2 (- 3 \ln (| x |) + C)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} = 2 (- 3 \ln (| x |)) + 2 C$

단계 3.2.2.1.2

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y^{2} = - 6 \ln (| x |) + 2 C$

단계 3.3

$6$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 6 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

$y^{2} = - \ln ({| x |}^{6}) + 2 C$

단계 3.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{- \ln ({| x |}^{6}) + 2 C}$

단계 3.5

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| x |}^{6}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$y = \pm \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

단계 3.6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

단계 3.6.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

단계 3.6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$

단계 5

$y$ 가 초기 조건 $(2, 1)$ 에서 양수이므로 $y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$ 만 고려하여 $C$ 를 구합니다. $x$ 에 $2$ 를 대입하고 $y$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$1 = \sqrt{- \ln (2^{6}) + C}$

단계 6

$C$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\sqrt{- \ln (2^{6}) + C} = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\sqrt{- \ln (2^{6}) + C} = 1$

단계 6.2

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 제곱합니다.

${\sqrt{- \ln (2^{6}) + C}}^{2} = 1^{2}$

단계 6.3

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{- \ln (2^{6}) + C}$ 을(를) ${(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

${({(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

단계 6.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

${({(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.1

${({(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

${(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

단계 6.3.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

${(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

단계 6.3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

${(- \ln (2^{6}) + C)}^{1} = 1^{2}$

단계 6.3.2.1.2

$2$ 를 $6$ 승 합니다.

${(- \ln (64) + C)}^{1} = 1^{2}$

단계 6.3.2.1.3

간단히 합니다.

$- \ln (64) + C = 1^{2}$

단계 6.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- \ln (64) + C = 1$

단계 6.4

방정식의 양변에 $\ln (64)$ 를 더합니다.

$C = 1 + \ln (64)$

단계 7

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$ 의 $C$ 에 $1 + \ln (64)$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$C$ 에 $1 + \ln (64)$ 를 대입합니다.

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 1 + \ln (64)}$