미적분 예제

$7 x - 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 0$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{d y}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

방정식의 양변에서 $7 x$ 를 뺍니다.

$- 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - 7 x$

단계 1.1.2

$- 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - 7 x$ 의 각 항을 $- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$- 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - 7 x$ 의 각 항을 $- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}$ 로 나눕니다.

$\frac{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 7 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

단계 1.1.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1

$- 8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 7 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

단계 1.1.2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 7 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

단계 1.1.2.2.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 7 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

단계 1.1.2.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 7 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

단계 1.1.2.2.3

$\sqrt{x^{2} + 1}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 7 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

단계 1.1.2.2.3.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 7 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

단계 1.1.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x}{8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

단계 1.1.2.3.2

$\frac{7 x}{8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$ 에 $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x}{8 y \sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

단계 1.1.2.3.3

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.3.1

$\frac{7 x}{8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$ 에 $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y \sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

단계 1.1.2.3.3.2

$\sqrt{x^{2} + 1}$ 를 옮깁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y (\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1})}$

단계 1.1.2.3.3.3

$\sqrt{x^{2} + 1}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y ({\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} \sqrt{x^{2} + 1})}$

단계 1.1.2.3.3.4

$\sqrt{x^{2} + 1}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y ({\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 1}}^{1})}$

단계 1.1.2.3.3.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y {\sqrt{x^{2} + 1}}^{1 + 1}}$

단계 1.1.2.3.3.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y {\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}}$

단계 1.1.2.3.3.7

${\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}$ 을 $x^{2} + 1$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.3.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x^{2} + 1}$ 을(를) ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 1.1.2.3.3.7.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 1.1.2.3.3.7.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

단계 1.1.2.3.3.7.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.3.7.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

단계 1.1.2.3.3.7.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y {(x^{2} + 1)}^{1}}$

단계 1.1.2.3.3.7.5

간단히 합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y (x^{2} + 1)}$

단계 1.2

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 (x^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{y}$

단계 1.3

양변에 $y$ 을 곱합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 (x^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{y})$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

조합합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{8 (x^{2} + 1) y}$

단계 1.4.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

$8 (x^{2} + 1) y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{y (8 (x^{2} + 1))}$

단계 1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{y (8 (x^{2} + 1))}$

단계 1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{8 (x^{2} + 1)}$

단계 1.4.3

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 (x^{2} + 1)}$

단계 1.5

식을 다시 씁니다.

$y d y = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 (x^{2} + 1)} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y d y = \int \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 (x^{2} + 1)} d x$

단계 2.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 (x^{2} + 1)} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$\frac{7}{8}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{7}{8}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{8} \int \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1} d x$

단계 2.3.2

먼저 $u = x^{2} + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$u = x^{2} + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

$x^{2} + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 2.3.2.1.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.3.2.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.3.2.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 x + 0$

단계 2.3.2.1.5

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 2.3.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{8} \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 2.3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$\frac{\sqrt{u}}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{8} \int \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u$

단계 2.3.3.2

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{8} \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

단계 2.3.4

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{8} (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u)$

단계 2.3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{7}{8}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{2 \cdot 8} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

단계 2.3.5.1.2

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

단계 2.3.5.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

단계 2.3.5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.3.1

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

단계 2.3.5.3.2

지수를 더하여 $u$ 에 $u^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.3.2.1

$u$ 에 $u^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.3.2.1.1

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

단계 2.3.5.3.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

단계 2.3.5.3.2.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

단계 2.3.5.3.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

단계 2.3.5.3.2.4

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

단계 2.3.5.4

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.4.1

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

단계 2.3.5.4.2

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.4.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

단계 2.3.5.4.2.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

단계 2.3.5.4.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 2.3.6

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

단계 2.3.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1

$\frac{7}{16} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ 을 $\frac{7}{16} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.7.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.2.1

$\frac{7}{16}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7 \cdot 2}{16} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.7.2.2

$7$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{14}{16} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.7.2.3

$14$ 및 $16$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.2.3.1

$14$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 (7)}{16} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.7.2.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.2.3.2.1

$16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.7.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.7.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.8

$u$ 를 모두 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{8} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{7}{8} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$