미적분 예제

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = (4.5) (\sec^{2} (x)) (\tan (x))$

단계 1

양변을 $x$ 에 대하여 적분합니다.

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단계 1.1

1차 도함수가 $x$ 에 대한 2차 도함수의 적분과 같습니다.

$\frac{d y}{d x} = \int (4.5) (\sec^{2} (x)) (\tan (x)) d x$

단계 1.2

$4.5$ 에 $\sec^{2} (x)$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \int 4.5 \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

단계 1.3

$4.5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4.5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{d y}{d x} = 4.5 \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

단계 1.4

먼저 $u = \sec (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ 이므로 $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.4.1

$u = \sec (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.4.1.1

$\sec (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

단계 1.4.1.2

$\sec (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec (x) \tan (x)$ 입니다.

$\sec (x) \tan (x)$

단계 1.4.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = 4.5 \int u d u$

단계 1.5

멱의 법칙에 의해 $u$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} u^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{d y}{d x} = 4.5 (\frac{1}{2} u^{2} + C_{1})$

단계 1.6

간단히 합니다.

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단계 1.6.1

$4.5 (\frac{1}{2} u^{2} + C_{1})$ 을 $4.5 (\frac{1}{2}) u^{2} + C_{1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = 4.5 (\frac{1}{2}) u^{2} + C_{1}$

단계 1.6.2

$4.5$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4.5}{2} u^{2} + C_{1}$

단계 1.7

$u$ 를 모두 $\sec (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4.5}{2} \sec^{2} (x) + C_{1}$

단계 1.8

$4.5$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = 2.25 \sec^{2} (x) + C_{1}$

단계 2

식을 다시 씁니다.

$d y = (2.25 \sec^{2} (x) + C_{1}) d x$

단계 3

양변을 적분합니다.

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단계 3.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int 2.25 \sec^{2} (x) + C_{1} d x$

단계 3.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{2} = \int 2.25 \sec^{2} (x) + C_{1} d x$

단계 3.3

우변을 적분합니다.

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단계 3.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y + C_{2} = \int 2.25 \sec^{2} (x) d x + \int C_{1} d x$

단계 3.3.2

$2.25$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2.25$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{2} = 2.25 \int \sec^{2} (x) d x + \int C_{1} d x$

단계 3.3.3

$\tan (x)$ 의 도함수는 $\sec^{2} (x)$ 이므로, $\sec^{2} (x)$ 의 적분값은 $\tan (x)$ 이 됩니다.

$y + C_{2} = 2.25 (\tan (x) + C_{3}) + \int C_{1} d x$

단계 3.3.4

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{2} = 2.25 (\tan (x) + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

단계 3.3.5

간단히 합니다.

$y + C_{2} = 2.25 \tan (x) + C_{1} x + C_{5}$

단계 3.3.6

항을 다시 정렬합니다.

$y + C_{2} = C_{1} x + 2.25 \tan (x) + C_{5}$

단계 3.4

우변에 적분 상수를 $D$ 로 묶습니다.

$y = C x + 2.25 \tan (x) + D$