미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{5 x + 1}$ , $y (3) = - 2$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = \sqrt{5 x + 1} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int \sqrt{5 x + 1} d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int \sqrt{5 x + 1} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

먼저 $u = 5 x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 5 d x$ 이므로 $\frac{1}{5} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.3.1.1

$u = 5 x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.3.1.1.1

$5 x + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [5 x + 1]$

단계 2.3.1.1.2

합의 법칙에 의해 $5 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.3.1.1.3

$\frac{d}{d x} [5 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1.1.3.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.3.1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.3.1.1.3.3

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.3.1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1.1.4.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$5 + 0$

단계 2.3.1.1.4.2

$5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$5$

단계 2.3.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = \int \sqrt{u} \frac{1}{5} d u$

단계 2.3.2

$\sqrt{u}$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{5} d u$

단계 2.3.3

$\frac{1}{5}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{5}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \int \sqrt{u} d u$

단계 2.3.4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 2.3.5

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

단계 2.3.6

간단히 합니다.

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단계 2.3.6.1

$\frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ 을 $\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.6.2

간단히 합니다.

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단계 2.3.6.2.1

$\frac{1}{5}$ 에 $\frac{2}{3}$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \frac{2}{5 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.6.2.2

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \frac{2}{15} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.7

$u$ 를 모두 $5 x + 1$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$ 에서 $x$ 에 $3$ 을, $y$ 에 $- 2$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$- 2 = \frac{2}{15} {(5 \cdot 3 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$

단계 4

$K$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.1

$\frac{2}{15} \cdot {(5 \cdot 3 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{15} \cdot {(5 \cdot 3 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

단계 4.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{15} \cdot {(15 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

단계 4.2.2

$15$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2}{15} \cdot 16^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

단계 4.2.3

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2}{15} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

단계 4.2.4

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{2}{15} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + K = - 2$

단계 4.2.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{15} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + K = - 2$

단계 4.2.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{15} \cdot 4^{3} + K = - 2$

단계 4.2.6

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{2}{15} \cdot 64 + K = - 2$

단계 4.2.7

$\frac{2}{15} \cdot 64$ 을 곱합니다.

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단계 4.2.7.1

$\frac{2}{15}$ 와 $64$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cdot 64}{15} + K = - 2$

단계 4.2.7.2

$2$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$\frac{128}{15} + K = - 2$

단계 4.3

$K$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 4.3.1

방정식의 양변에서 $\frac{128}{15}$ 를 뺍니다.

$K = - 2 - \frac{128}{15}$

단계 4.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 2$ 을 표현하기 위해 $\frac{15}{15}$ 을 곱합니다.

$K = - 2 \cdot \frac{15}{15} - \frac{128}{15}$

단계 4.3.3

$- 2$ 와 $\frac{15}{15}$ 을 묶습니다.

$K = \frac{- 2 \cdot 15}{15} - \frac{128}{15}$

단계 4.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$K = \frac{- 2 \cdot 15 - 128}{15}$

단계 4.3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.5.1

$- 2$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$K = \frac{- 30 - 128}{15}$

단계 4.3.5.2

$- 30$ 에서 $128$ 을 뺍니다.

$K = \frac{- 158}{15}$

단계 4.3.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$K = - \frac{158}{15}$

단계 5

$y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$ 의 $K$ 에 $- \frac{158}{15}$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$K$ 에 $- \frac{158}{15}$ 를 대입합니다.

$y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{158}{15}$

단계 5.2

$\frac{2}{15}$ 와 ${(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{15} - \frac{158}{15}$

단계 5.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 158}{15}$

단계 5.4

$2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 158$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.4.1

$2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{2 ({(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}) - 158}{15}$

단계 5.4.2

$- 158$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot - 79}{15}$

단계 5.4.3

$2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot - 79$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{2 ({(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 79)}{15}$