미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = y^{2} e^{- 2 x}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $\frac{1}{y^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} e^{- 2 x})$

단계 1.2

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$y^{2} e^{- 2 x}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} (e^{- 2 x}))$

단계 1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} e^{- 2 x})$

단계 1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = e^{- 2 x}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2}} d y = e^{- 2 x} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int e^{- 2 x} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$y^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int e^{- 2 x} d x$

단계 2.2.1.2

${(y^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int e^{- 2 x} d x$

단계 2.2.1.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int y^{- 2} d y = \int e^{- 2 x} d x$

단계 2.2.2

멱의 법칙에 의해 $y^{- 2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $- y^{- 1}$ 가 됩니다.

$- y^{- 1} + C_{1} = \int e^{- 2 x} d x$

단계 2.2.3

$- y^{- 1} + C_{1}$ 을 $- \frac{1}{y} + C_{1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int e^{- 2 x} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

먼저 $u = - 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 2 d x$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$u = - 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.1

$- 2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 2.3.1.1.2

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 \cdot 1$

단계 2.3.1.1.4

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2$

단계 2.3.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

단계 2.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

단계 2.3.2.2

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

단계 2.3.3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{e^{u}}{2} d u$

단계 2.3.4

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

단계 2.3.5

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2})$

단계 2.3.6

간단히 합니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{u} + C_{2}$

단계 2.3.7

$u$ 를 모두 $- 2 x$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$- \frac{1}{y} = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$e^{- 2 x}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{y} = - \frac{e^{- 2 x}}{2} + K$

단계 3.2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$y, 2, 1$

단계 3.2.2

$y, 2, 1$ 이 숫자와 변수를 모두 포함하므로 두 단계에 걸쳐 최소공배수를 구합니다. 숫자 부분인 $1, 2, 1$ 의 최소공배수를 구한 뒤 변수 부분 $y^{1}$ 의 최소공배수를 구합니다.

단계 3.2.3

최소공배수는 주어진 모든 수로 나누어 떨어지는 가장 작은 양수입니다.

1. 각 수의 소인수를 나열합니다.

2. 각 인수가 해당 수에서 나타나는 횟수만큼 각 인수를 곱합니다.

단계 3.2.4

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 3.2.5

$2$ 는 $1$ , $2$ 이외의 인수를 가지지 않습니다.

$2$ 는 소수입니다

단계 3.2.6

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 3.2.7

$1, 2, 1$ 의 최소공배수는 각 수에 포함된 소인수의 최대 개수만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$2$

단계 3.2.8

$y^{1}$ 의 인수는 $y$ 자신입니다.

$y^{1} = y$

$y$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 3.2.9

$y^{1}$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 소인수의 최대 개수 만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$y$

단계 3.2.10

$y, 2, 1$ 의 최소공배수는 숫자 부분 $2$ 에 변수 부분을 곱한 값입니다.

$2 y$

단계 3.3

$- \frac{1}{y} = - \frac{e^{- 2 x}}{2} + K$ 의 각 항에 $2 y$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- \frac{1}{y} = - \frac{e^{- 2 x}}{2} + K$ 의 각 항에 $2 y$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{y} (2 y) = - \frac{e^{- 2 x}}{2} (2 y) + K (2 y)$

단계 3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

$- \frac{1}{y}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 1}{y} (2 y) = - \frac{e^{- 2 x}}{2} (2 y) + K (2 y)$

단계 3.3.2.1.2

$2 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 2) = - \frac{e^{- 2 x}}{2} (2 y) + K (2 y)$

단계 3.3.2.1.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 2) = - \frac{e^{- 2 x}}{2} (2 y) + K (2 y)$

단계 3.3.2.1.4

수식을 다시 씁니다.

$- 1 \cdot 2 = - \frac{e^{- 2 x}}{2} (2 y) + K (2 y)$

단계 3.3.2.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 = - \frac{e^{- 2 x}}{2} (2 y) + K (2 y)$

단계 3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.1.1

$- \frac{e^{- 2 x}}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- 2 = \frac{- e^{- 2 x}}{2} (2 y) + K (2 y)$

단계 3.3.3.1.1.2

$2 y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 2 = \frac{- e^{- 2 x}}{2} (2 (y)) + K (2 y)$

단계 3.3.3.1.1.3

공약수로 약분합니다.

$- 2 = \frac{- e^{- 2 x}}{2} (2 y) + K (2 y)$

단계 3.3.3.1.1.4

수식을 다시 씁니다.

$- 2 = - e^{- 2 x} y + K (2 y)$

단계 3.3.3.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 2 = - e^{- 2 x} y + 2 K y$

단계 3.3.3.2

$- e^{- 2 x} y + 2 K y$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- 2 = - y e^{- 2 x} + 2 K y$

단계 3.4

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$- y e^{- 2 x} + 2 K y = - 2$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- y e^{- 2 x} + 2 K y = - 2$

단계 3.4.2

$- y e^{- 2 x} + 2 K y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$- y e^{- 2 x}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (- 1 e^{- 2 x}) + 2 K y = - 2$

단계 3.4.2.2

$2 K y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (- 1 e^{- 2 x}) + y (2 K) = - 2$

단계 3.4.2.3

$y (- 1 e^{- 2 x}) + y (2 K)$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (- 1 e^{- 2 x} + 2 K) = - 2$

단계 3.4.3

$- 1 e^{- 2 x}$ 을 $- e^{- 2 x}$ 로 바꿔 씁니다.

$y (- e^{- 2 x} + 2 K) = - 2$

단계 3.4.4

$y (- e^{- 2 x} + 2 K) = - 2$ 의 각 항을 $- e^{- 2 x} + 2 K$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.1

$y (- e^{- 2 x} + 2 K) = - 2$ 의 각 항을 $- e^{- 2 x} + 2 K$ 로 나눕니다.

$\frac{y (- e^{- 2 x} + 2 K)}{- e^{- 2 x} + 2 K} = \frac{- 2}{- e^{- 2 x} + 2 K}$

단계 3.4.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.2.1

$- e^{- 2 x} + 2 K$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y (- e^{- 2 x} + 2 K)}{- e^{- 2 x} + 2 K} = \frac{- 2}{- e^{- 2 x} + 2 K}$

단계 3.4.4.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{- 2}{- e^{- 2 x} + 2 K}$

단계 3.4.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{2}{- e^{- 2 x} + 2 K}$

단계 3.4.4.3.2

$- e^{- 2 x}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = - \frac{2}{- (e^{- 2 x}) + 2 K}$

단계 3.4.4.3.3

$2 K$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = - \frac{2}{- (e^{- 2 x}) - (- 2 K)}$

단계 3.4.4.3.4

$- (e^{- 2 x}) - (- 2 K)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = - \frac{2}{- (e^{- 2 x} - 2 K)}$

단계 3.4.4.3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.3.5.1

$- (e^{- 2 x} - 2 K)$ 을 $- 1 (e^{- 2 x} - 2 K)$ 로 바꿔 씁니다.

$y = - \frac{2}{- 1 (e^{- 2 x} - 2 K)}$

단계 3.4.4.3.5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - - \frac{2}{e^{- 2 x} - 2 K}$

단계 3.4.4.3.5.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = 1 \frac{2}{e^{- 2 x} - 2 K}$

단계 3.4.4.3.5.4

$\frac{2}{e^{- 2 x} - 2 K}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2}{e^{- 2 x} - 2 K}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{2}{e^{- 2 x} + K}$