미적분 예제

$2 x y^{3} d x + 3 x^{2} y^{2} d y = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $2 x y^{3} d x$ 를 뺍니다.

$3 x^{2} y^{2} d y = - 2 x y^{3} d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{2} y^{3}} (3 x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 2 x y^{3}) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$3 \frac{1}{x^{2} y^{3}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 2 x y^{3}) d x$

단계 3.2

$3$ 와 $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{x^{2} y^{3}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 2 x y^{3}) d x$

단계 3.3

$x^{2} y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$x^{2} y^{3}$ 에서 $x^{2} y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3}{x^{2} y^{2} (y)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 2 x y^{3}) d x$

단계 3.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3}{x^{2} y^{2} y} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 2 x y^{3}) d x$

단계 3.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3}{y} d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 2 x y^{3}) d x$

단계 3.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{3}{y} d y = - 2 \frac{1}{x^{2} y^{3}} (x y^{3}) d x$

단계 3.5

$- 2$ 와 $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{x^{2} y^{3}} (x y^{3}) d x$

단계 3.6

$x y^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$x^{2} y^{3}$ 에서 $x y^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{x y^{3} (x)} (x y^{3}) d x$

단계 3.6.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{x y^{3} x} (x y^{3}) d x$

단계 3.6.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{x} d x$

단계 3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{3}{y} d y = - \frac{2}{x} d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{3}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

단계 4.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$3$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

단계 4.2.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$3 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{2}{x} d x$

단계 4.2.3

간단히 합니다.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2}{x} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2}{x} d x$

단계 4.3.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

단계 4.3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{x} d x$

단계 4.3.4

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

단계 4.3.5

간단히 합니다.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| x |) + C_{2}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$3 \ln (| y |) = - 2 \ln (| x |) + C$

단계 5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$3 \ln (| y |) + 2 \ln (| x |) = C$

단계 5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$3 \ln (| y |) + 2 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.1

$3$ 를 로그 안으로 옮겨 $3 \ln (| y |)$ 을 간단히 합니다.

$\ln ({| y |}^{3}) + 2 \ln (| x |) = C$

단계 5.2.1.1.2

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln ({| x |}^{2}) = C$

단계 5.2.1.1.3

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| x |}^{2}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln (x^{2}) = C$

단계 5.2.1.2

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\ln ({| y |}^{3} x^{2}) = C$

단계 5.2.1.3

$\ln ({| y |}^{3} x^{2})$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\ln (x^{2} {| y |}^{3}) = C$

단계 5.3

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (x^{2} {| y |}^{3})} = e^{C}$

단계 5.4

로그의 정의를 이용하여 $\ln (x^{2} {| y |}^{3}) = C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{C} = x^{2} {| y |}^{3}$

단계 5.5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$

단계 5.5.2

$x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$ 의 각 항을 $x^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.1

$x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$ 의 각 항을 $x^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{x^{2} {| y |}^{3}}{x^{2}} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

단계 5.5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.2.1

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} {| y |}^{3}}{x^{2}} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

단계 5.5.2.2.1.2

${| y |}^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

${| y |}^{3} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

단계 5.5.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$| y | = \sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{2}}}$

단계 5.5.4

$\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{2}}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.1

$\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{2}}}$ 을 $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ 로 바꿔 씁니다.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

단계 5.5.4.2

$\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ 에 $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ 을 곱합니다.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

단계 5.5.4.3

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.3.1

$\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ 에 $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ 을 곱합니다.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

단계 5.5.4.3.2

$\sqrt[3]{x^{2}}$ 를 $1$ 승 합니다.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

단계 5.5.4.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1 + 2}}$

단계 5.5.4.3.4

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}}$

단계 5.5.4.3.5

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}$ 을 $x^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.3.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 을(를) $x^{\frac{2}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{3}}$

단계 5.5.4.3.5.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{3} \cdot 3}}$

단계 5.5.4.3.5.3

$\frac{2}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 3}{3}}}$

단계 5.5.4.3.5.4

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{6}{3}}}$

단계 5.5.4.3.5.5

$6$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.3.5.5.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3}}}$

단계 5.5.4.3.5.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.3.5.5.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}}$

단계 5.5.4.3.5.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}}$

단계 5.5.4.3.5.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{1}}}$

단계 5.5.4.3.5.5.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2}}$

단계 5.5.4.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.4.1

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}$ 을 $\sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}}{x^{2}}$

단계 5.5.4.4.2

${(x^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.4.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{2 \cdot 2}}}{x^{2}}$

단계 5.5.4.4.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{4}}}{x^{2}}$

단계 5.5.4.4.3

$x^{3}$ 로 인수분해합니다.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{3} x}}{x^{2}}$

단계 5.5.4.4.4

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} x \sqrt[3]{x}}{x^{2}}$

단계 5.5.4.4.5

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x^{2}}$

단계 5.5.4.5

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.5.1

$x$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.5.1.1

$x \sqrt[3]{e^{C} x}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x^{2}}$

단계 5.5.4.5.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.5.1.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x \cdot x}$

단계 5.5.4.5.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x \cdot x}$

단계 5.5.4.5.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C} x}}{x}$

단계 5.5.4.5.2

$\frac{\sqrt[3]{e^{C} x}}{x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{x e^{C}}}{x}$

단계 5.5.5

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x e^{C}}}{x}$

단계 6

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x C}}{x}$