미적분 예제

$x d y = y (\ln (x) - \ln (y)) d x$

단계 1

완전미분 방정식 해법에 맞도록 미분 방정식을 다시 작성합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변에서 $y (\ln (x) - \ln (y)) d x$ 를 뺍니다.

$x d y - y (\ln (x) - \ln (y)) d x = 0$

단계 1.2

다시 씁니다.

$- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

단계 2

$M (x, y) = - y (\ln (x) - \ln (y))$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y (\ln (x) - \ln (y))]$

단계 2.2

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y \ln (\frac{x}{y})]$

단계 2.3

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- y \ln (\frac{x}{y})$ 의 미분은 $- \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$

단계 2.4

$f (y) = y$ , $g (y) = \ln (\frac{x}{y})$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y \frac{d}{d y} [\ln (\frac{x}{y})] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 2.5

$f (y) = \ln (y)$ , $g (y) = \frac{x}{y}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x}{y}$ 로 바꿉니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 2.5.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 2.5.3

$u$ 를 모두 $\frac{x}{y}$ 로 바꿉니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 2.6

$\frac{x}{y}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (1 \frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 2.7

$\frac{y}{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 2.8

$\frac{y}{x}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y \cdot y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 2.9

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 2.10

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y^{1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 2.11

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1 + 1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 2.12

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 2.13

$x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $\frac{x}{y}$ 의 미분은 $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} (x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 2.14

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.14.1

$x$ 와 $\frac{y^{2}}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 2.14.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.14.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 2.14.2.2

$y^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 2.14.3

$\frac{1}{y}$ 을 $y^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 2.15

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} (- y^{- 2}) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 2.16

지수를 더하여 $y^{2}$ 에 $y^{- 2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.16.1

$y^{- 2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2} y^{2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 2.16.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2 + 2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 2.16.3

$- 2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{0} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 2.17

$y^{0} \cdot - 1$ 을 간단히 합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 2.18

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \cdot 1)$

단계 2.19

$\ln (\frac{x}{y})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}))$

단계 2.20

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.20.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - 1 - \ln (\frac{x}{y})$

단계 2.20.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \ln (\frac{x}{y})$

단계 3

$N (x, y) = x$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

단계 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $1 - \ln (\frac{x}{y})$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$

단계 4.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 5

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

단계 5.2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $1 - \ln (\frac{x}{y})$ 를 대입합니다.

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{M}$

단계 5.3

$M$ 에 $- y (\ln (x) - \ln (y))$ 를 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$M$ 에 $- y (\ln (x) - \ln (y))$ 를 대입합니다.

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

단계 5.3.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

단계 5.3.2.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

단계 5.3.2.3

$- - \ln (\frac{x}{y})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - 1 + 1 \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

단계 5.3.2.3.2

$\ln (\frac{x}{y})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - 1 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

단계 5.3.2.4

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{0 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

단계 5.3.2.5

$0$ 를 $\ln (\frac{x}{y})$ 에 더합니다.

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

단계 5.3.3

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

단계 5.3.4

$\ln (\frac{x}{y})$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

단계 5.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{- y}$

단계 5.3.5

$M$ 에 $- y (\ln (x) - \ln (y))$ 를 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.5.1

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (- 1)}{- y}$

단계 5.3.5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{y}$

단계 5.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

단계 6

적분 $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

단계 6.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

단계 6.3

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

단계 6.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

$- 1$ 를 로그 안으로 옮겨 $- \ln (| y |)$ 을 간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

단계 6.4.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

단계 6.4.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

단계 7

$- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $\frac{1}{y}$ 를 곱합니다.

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단계 7.1

$- y (\ln (x) - \ln (y))$ 에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$- y (\ln (x) - \ln (y)) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

단계 7.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.1

$- y (\ln (x) - \ln (y))$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

단계 7.2.2

공약수로 약분합니다.

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

단계 7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- 1 (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

단계 7.3

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$- 1 \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

단계 7.4

$- 1 \ln (\frac{x}{y})$ 을 $- \ln (\frac{x}{y})$ 로 바꿔 씁니다.

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

단계 7.5

$x$ 에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x \frac{1}{y} d y = 0$

단계 7.6

$x$ 와 $\frac{1}{y}$ 을 묶습니다.

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + \frac{x}{y} d y = 0$

단계 8

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int \frac{x}{y} d y$

단계 9

$N (x, y) = \frac{x}{y}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$x$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $x$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = x \int \frac{1}{y} d y$

단계 9.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$f (x, y) = x (\ln (| y |) + C)$

단계 9.3

간단히 합니다.

$f (x, y) = x \ln (| y |) + C$

단계 10

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = x \ln (| y |) + g (x)$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \ln (\frac{x}{y})$

단계 12

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x \ln (| y |) + g (x)] = - \ln (\frac{x}{y})$

단계 13

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1

다시 씁니다.

$x d y = y (\ln (x) - \ln (y)) d x$

단계 13.1.2

완전미분 방정식 해법에 맞도록 미분 방정식을 다시 작성합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.2.1

방정식의 양변에서 $y (\ln (x) - \ln (y)) d x$ 를 뺍니다.

$x d y - y (\ln (x) - \ln (y)) d x = 0$

단계 13.1.2.2

다시 씁니다.

$- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

단계 13.1.3

$M (x, y) = - y (\ln (x) - \ln (y))$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.3.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y (\ln (x) - \ln (y))]$

단계 13.1.3.2

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y \ln (\frac{x}{y})]$

단계 13.1.3.3

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- y \ln (\frac{x}{y})$ 의 미분은 $- \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$

단계 13.1.3.4

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y \frac{d}{d y} [\ln (\frac{x}{y})] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 13.1.3.5

$f (y) = \ln (y)$ , $g (y) = \frac{x}{y}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.3.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x}{y}$ 로 바꿉니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 13.1.3.5.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 13.1.3.5.3

$u$ 를 모두 $\frac{x}{y}$ 로 바꿉니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 13.1.3.6

$\frac{x}{y}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (1 \frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 13.1.3.7

$\frac{y}{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 13.1.3.8

$\frac{y}{x}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y \cdot y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 13.1.3.9

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 13.1.3.10

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y^{1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 13.1.3.11

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1 + 1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 13.1.3.12

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 13.1.3.13

$x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $\frac{x}{y}$ 의 미분은 $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} (x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 13.1.3.14

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.3.14.1

$x$ 와 $\frac{y^{2}}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 13.1.3.14.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.3.14.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 13.1.3.14.2.2

$y^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 13.1.3.14.3

$\frac{1}{y}$ 을 $y^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 13.1.3.15

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} (- y^{- 2}) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 13.1.3.16

지수를 더하여 $y^{2}$ 에 $y^{- 2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.3.16.1

$y^{- 2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2} y^{2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 13.1.3.16.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2 + 2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 13.1.3.16.3

$- 2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{0} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 13.1.3.17

$y^{0} \cdot - 1$ 을 간단히 합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

단계 13.1.3.18

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \cdot 1)$

단계 13.1.3.19

$\ln (\frac{x}{y})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}))$

단계 13.1.3.20

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.3.20.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - 1 - \ln (\frac{x}{y})$

단계 13.1.3.20.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \ln (\frac{x}{y})$

단계 13.1.4

$N (x, y) = x$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.4.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

단계 13.1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

단계 13.1.5

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.5.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $1 - \ln (\frac{x}{y})$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$

단계 13.1.5.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 13.1.6

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.6.1

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

단계 13.1.6.2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $1 - \ln (\frac{x}{y})$ 를 대입합니다.

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{M}$

단계 13.1.6.3

$M$ 에 $- y (\ln (x) - \ln (y))$ 를 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.6.3.1

$M$ 에 $- y (\ln (x) - \ln (y))$ 를 대입합니다.

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

단계 13.1.6.3.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.6.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

단계 13.1.6.3.2.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

단계 13.1.6.3.2.3

$- - \ln (\frac{x}{y})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.6.3.2.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - 1 + 1 \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

단계 13.1.6.3.2.3.2

$\ln (\frac{x}{y})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - 1 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

단계 13.1.6.3.2.4

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{0 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

단계 13.1.6.3.2.5

$0$ 를 $\ln (\frac{x}{y})$ 에 더합니다.

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

단계 13.1.6.3.3

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

단계 13.1.6.3.4

$\ln (\frac{x}{y})$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.6.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

단계 13.1.6.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{- y}$

단계 13.1.6.3.5

$M$ 에 $- y (\ln (x) - \ln (y))$ 를 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.6.3.5.1

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (- 1)}{- y}$

단계 13.1.6.3.5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{y}$

단계 13.1.6.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

단계 13.1.7

적분 $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.7.1

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

단계 13.1.7.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

단계 13.1.7.3

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

단계 13.1.7.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.7.4.1

$- 1$ 를 로그 안으로 옮겨 $- \ln (| y |)$ 을 간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

단계 13.1.7.4.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

단계 13.1.7.4.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

단계 13.1.8

$- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $\frac{1}{y}$ 를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.8.1

$- y (\ln (x) - \ln (y))$ 에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$- y (\ln (x) - \ln (y)) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

단계 13.1.8.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.8.2.1

$- y (\ln (x) - \ln (y))$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

단계 13.1.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

단계 13.1.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- 1 (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

단계 13.1.8.3

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$- 1 \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

단계 13.1.8.4

$- 1 \ln (\frac{x}{y})$ 을 $- \ln (\frac{x}{y})$ 로 바꿔 씁니다.

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

단계 13.1.8.5

$x$ 에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x \frac{1}{y} d y = 0$

단계 13.1.8.6

$x$ 와 $\frac{1}{y}$ 을 묶습니다.

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + \frac{x}{y} d y = 0$

단계 13.1.9

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int \frac{x}{y} d y$

단계 13.1.10

$N (x, y) = \frac{x}{y}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.10.1

$x$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $x$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = x \int \frac{1}{y} d y$

단계 13.1.10.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$f (x, y) = x (\ln (| y |) + C)$

단계 13.1.10.3

간단히 합니다.

$f (x, y) = x \ln (| y |) + C$

단계 13.1.11

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = x \ln (| y |) + g (x)$

단계 13.1.12

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \ln (\frac{x}{y})$

단계 13.1.13

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.13.1

$\frac{d}{d x} \cdot (x \ln (| y |) + g (x))$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.13.1.1

$d$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.13.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d}{d x} \cdot (x \ln (| y |) + g (x)) = - \ln (\frac{x}{y})$

단계 13.1.13.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x} \cdot (x \ln (| y |) + g (x)) = - \ln (\frac{x}{y})$

단계 13.1.13.1.2

$\frac{1}{x}$ 에 $x \ln (| y |) + g x$ 을 곱합니다.

$\frac{x \ln (| y |) + g x}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

단계 13.1.13.1.3

$x \ln (| y |) + g x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.13.1.3.1

$x \ln (| y |)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \ln (| y |) + g x}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

단계 13.1.13.1.3.2

$g x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \ln (| y |) + x g}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

단계 13.1.13.1.3.3

$x \ln (| y |) + x g$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (\ln (| y |) + g)}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

단계 13.1.13.1.4

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.13.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x (\ln (| y |) + g)}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

단계 13.1.13.1.4.2

$\ln (| y |) + g$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (| y |) + g = - \ln (\frac{x}{y})$

단계 13.1.14

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| y |) + \ln (\frac{x}{y}) = - g$

단계 13.1.15

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\ln (| y | (\frac{x}{y})) = - g$

단계 13.1.16

$| y |$ 와 $\frac{x}{y}$ 을 묶습니다.

$\ln (\frac{| y | x}{y}) = - g$

단계 13.1.17

$\ln (\frac{| y | x}{y})$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\ln (\frac{x | y |}{y}) = - g$

단계 14

$- g$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$\ln (\frac{x | y |}{y}) = - g$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \ln (\frac{x | y |}{y}) d x = \int - g d x$

단계 14.2

$\int \ln (\frac{x | y |}{y}) d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int - g d x$

단계 14.3

상수 규칙을 적용합니다.

$g (x) = - g x + C$

단계 15

$f (x, y) = x \ln (| y |) + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = x \ln (| y |) - g x + C$