미적분 예제

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x^{2} - 9} = 0$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{d y}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x^{2} - 3^{2}} = 0$

단계 1.1.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

단계 1.1.2

방정식의 양변에서 $\frac{x y}{(x + 3) (x - 3)}$ 를 뺍니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y}{(x + 3) (x - 3)}$

단계 1.2

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y$

단계 1.3

양변에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y)$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} (\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y)$

단계 1.4.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

$- \frac{1}{y}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y)$

단계 1.4.2.2

$\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{x}{(x + 3) (x - 3)})$

단계 1.4.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{x}{(x + 3) (x - 3)})$

단계 1.4.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)}$

단계 1.5

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

단계 2.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

단계 2.3.2

먼저 $u = (x + 3) (x - 3)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$u = (x + 3) (x - 3)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

$(x + 3) (x - 3)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 3)]$

단계 2.3.2.1.2

$f (x) = x + 3$ , $g (x) = x - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

단계 2.3.2.1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.3.1

합의 법칙에 의해 $x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$(x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

단계 2.3.2.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

단계 2.3.2.1.3.3

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$(x + 3) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

단계 2.3.2.1.3.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.3.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(x + 3) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

단계 2.3.2.1.3.4.2

$x + 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x + 3 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

단계 2.3.2.1.3.5

합의 법칙에 의해 $x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$x + 3 + (x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

단계 2.3.2.1.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x + 3 + (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [3])$

단계 2.3.2.1.3.7

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$x + 3 + (x - 3) (1 + 0)$

단계 2.3.2.1.3.8

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.3.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x + 3 + (x - 3) \cdot 1$

단계 2.3.2.1.3.8.2

$x - 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x + 3 + x - 3$

단계 2.3.2.1.3.8.3

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$2 x + 3 - 3$

단계 2.3.2.1.3.8.4

숫자를 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.3.8.4.1

$3$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$2 x + 0$

단계 2.3.2.1.3.8.4.2

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 2.3.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 2.3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

단계 2.3.3.2

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u} d u$

단계 2.3.4

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

단계 2.3.5

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

단계 2.3.6

간단히 합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

단계 2.3.7

$u$ 를 모두 $(x + 3) (x - 3)$ 로 바꿉니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| (x + 3) (x - 3) |) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} \ln (| (x + 3) (x - 3) |) + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$\ln (| (x + 3) (x - 3) |)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\ln (| y |) = - \frac{\ln (| (x + 3) (x - 3) |)}{2} + C$

단계 3.2

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| (x + 3) (x - 3) |)}{2} = C$

단계 3.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + 3) (x - 3)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x (x - 3) + 3 (x - 3) |)}{2} = C$

단계 3.3.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3) |)}{2} = C$

단계 3.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

단계 3.3.2

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

인수가 항 $x \cdot - 3$ 과(와) $3 x$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

단계 3.3.2.2

$- 3 x$ 를 $3 x$ 에 더합니다.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

단계 3.3.2.3

$x \cdot x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

단계 3.3.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x^{2} + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

단계 3.3.3.2

$3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

단계 3.4

공통 분모를 가지는 분수로 $\ln (| y |)$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

단계 3.5

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$\ln (| y |)$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

단계 3.5.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

단계 3.6

$\ln (| y |)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

단계 3.7

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

$\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.1.1

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (| y |)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

단계 3.7.1.1.2

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| y |}^{2}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$\frac{\ln (y^{2}) + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

단계 3.7.1.1.3

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\frac{\ln (y^{2} | x^{2} - 9 |)}{2} = C$

단계 3.7.1.2

$\frac{\ln (y^{2} | x^{2} - 9 |)}{2}$ 을 $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} - 9 |)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} - 9 |) = C$

단계 3.7.1.3

$\frac{1}{2}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} - 9 |)$ 을 간단히 합니다.

$\ln ({(y^{2} | x^{2} - 9 |)}^{\frac{1}{2}}) = C$

단계 3.7.1.4

$y^{2} | x^{2} - 9 |$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\ln ({(y^{2})}^{\frac{1}{2}} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

단계 3.7.1.5

${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

단계 3.7.1.5.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.5.2.1

공약수로 약분합니다.

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

단계 3.7.1.5.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\ln (y^{1} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

단계 3.7.1.6

간단히 합니다.

$\ln (y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

단계 3.8

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}})} = e^{C}$

단계 3.9

로그의 정의를 이용하여 $\ln (y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{C} = y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$

단계 3.10

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.1

$y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$

단계 3.10.2

$y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ 의 각 항을 ${| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.1

$y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ 의 각 항을 ${| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$ 로 나눕니다.

$\frac{y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$

단계 3.10.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$

단계 3.10.2.2.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{e^{C}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{C}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$