미적분 예제

$(y \cos (x) + 2 x e^{y}) d x + (\sin (x) + x^{2} e^{y} - 1) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = y \cos (x) + 2 x e^{y}$ 인

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$y$ 에 대해

$M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \cos (x) + 2 x e^{y}]$

단계 1.2

합의 법칙에 의해

$y \cos (x) + 2 x e^{y}$ 를

$y$ 에 대해 미분하면

$\frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d y} [y \cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$\cos (x)$ 은

$y$ 에 대해 일정하므로

$y$ 에 대한

$y \cos (x)$ 의 미분은

$\cos (x) \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는

$n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$

단계 1.3.3

$\cos (x)$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$

단계 1.4

$\frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.4.1

$2 x$ 은

$y$ 에 대해 일정하므로

$y$ 에 대한

$2 x e^{y}$ 의 미분은

$2 x \frac{d}{d y} [e^{y}]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) + 2 x \frac{d}{d y} [e^{y}]$

단계 1.4.2

$a$ =

$e$ 일 때

$\frac{d}{d y} [a^{y}]$ 은

$a^{y} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) + 2 x e^{y}$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{y} x + \cos (x)$

단계 1.5.2

$2 e^{y} x + \cos (x)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x e^{y} + \cos (x)$

단계 2

$N (x, y) = \sin (x) + x^{2} e^{y} - 1$ 인

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해

$N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\sin (x) + x^{2} e^{y} - 1]$

단계 2.2

합의 법칙에 의해

$\sin (x) + x^{2} e^{y} - 1$ 를

$x$ 에 대해 미분하면

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.3

$\sin (x)$ 를

$x$ 에 대해 미분하면

$\cos (x)$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.4.1

$e^{y}$ 은

$x$ 에 대해 일정하므로

$x$ 에 대한

$x^{2} e^{y}$ 의 미분은

$e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.4.2

$n = 2$ 일 때

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + e^{y} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.4.3

$e^{y}$ 의 왼쪽으로

$2$ 이동하기

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + 2 e^{y} x + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.5

$- 1$ 이

$x$ 에 대해 일정하므로,

$- 1$ 를

$x$ 에 대해 미분하면

$- 1$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + 2 e^{y} x + 0$

단계 2.6

간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$\cos (x) + 2 e^{y} x$ 를

$0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + 2 e^{y} x$

단계 2.6.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{y} x + \cos (x)$

단계 2.6.3

$2 e^{y} x + \cos (x)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x e^{y} + \cos (x)$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에

$2 x e^{y} + \cos (x)$ 을,

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에

$2 x e^{y} + \cos (x)$ 을 대입합니다.

$2 x e^{y} + \cos (x) = 2 x e^{y} + \cos (x)$

단계 3.2

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$2 x e^{y} + \cos (x) = 2 x e^{y} + \cos (x)$ 은 항등식입니다.

단계 4

집합

$f (x, y)$ 을

$N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int \sin (x) + x^{2} e^{y} - 1 d y$

단계 5

$N (x, y) = \sin (x) + x^{2} e^{y} - 1$ 을 적분하여

$f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 5.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$f (x, y) = \int \sin (x) d y + \int x^{2} e^{y} d y + \int - 1 d y$

단계 5.2

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = \sin (x) y + C + \int x^{2} e^{y} d y + \int - 1 d y$

단계 5.3

$x^{2}$ 은

$y$ 에 대해 상수이므로,

$x^{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = \sin (x) y + C + x^{2} \int e^{y} d y + \int - 1 d y$

단계 5.4

$e^{y}$ 를

$y$ 에 대해 적분하면

$e^{y}$ 입니다.

$f (x, y) = \sin (x) y + C + x^{2} (e^{y} + C) + \int - 1 d y$

단계 5.5

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = \sin (x) y + C + x^{2} (e^{y} + C) - y + C$

단계 5.6

간단히 합니다.

$f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + C$

단계 6

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로

$C$ 에

$g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + g (x)$

단계 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

단계 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

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단계 8.1

$x$ 에 대해

$f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

단계 8.2

합의 법칙에 의해

$\sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + g (x)$ 를

$x$ 에 대해 미분하면

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

단계 8.3

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$y$ 은

$x$ 에 대해 일정하므로

$x$ 에 대한

$\sin (x) y$ 의 미분은

$y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

단계 8.3.2

$\sin (x)$ 를

$x$ 에 대해 미분하면

$\cos (x)$ 입니다.

$y \cos (x) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

단계 8.4

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 8.4.1

$e^{y}$ 은

$x$ 에 대해 일정하므로

$x$ 에 대한

$x^{2} e^{y}$ 의 미분은

$e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$y \cos (x) + e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

단계 8.4.2

$n = 2$ 일 때

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y \cos (x) + e^{y} (2 x) + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

단계 8.4.3

$e^{y}$ 의 왼쪽으로

$2$ 이동하기

$y \cos (x) + 2 e^{y} x + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

단계 8.5

$- y$ 이

$x$ 에 대해 일정하므로,

$- y$ 를

$x$ 에 대해 미분하면

$- y$ 입니다.

$y \cos (x) + 2 e^{y} x + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

단계 8.6

$g (x)$ 의 도함수가

$\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$y \cos (x) + 2 e^{y} x + 0 + \frac{d g}{d x} = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

단계 8.7

간단히 합니다.

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단계 8.7.1

$y \cos (x) + 2 e^{y} x$ 를

$0$ 에 더합니다.

$y \cos (x) + 2 e^{y} x + \frac{d g}{d x} = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

단계 8.7.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x) + 2 e^{y} x = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

단계 8.7.3

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x) + 2 e^{y} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x) + 2 x e^{y} = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

단계 9

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.1

$\frac{d g}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 9.1.1

방정식의 양변에서

$y \cos (x)$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} + 2 x e^{y} = y \cos (x) + 2 x e^{y} - y \cos (x)$

단계 9.1.2

방정식의 양변에서

$2 x e^{y}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = y \cos (x) + 2 x e^{y} - y \cos (x) - 2 x e^{y}$

단계 9.1.3

$y \cos (x) + 2 x e^{y} - y \cos (x) - 2 x e^{y}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 9.1.3.1

$y \cos (x)$ 에서

$y \cos (x)$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = 2 x e^{y} + 0 - 2 x e^{y}$

단계 9.1.3.2

$2 x e^{y}$ 를

$0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = 2 x e^{y} - 2 x e^{y}$

단계 9.1.3.3

$2 x e^{y}$ 에서

$2 x e^{y}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = 0$

단계 10

$0$ 의 역도함수를 구하여

$g (x)$ 을 구합니다.

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단계 10.1

$\frac{d g}{d x} = 0$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

단계 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int 0 d x$

단계 10.3

$0$ 를

$x$ 에 대해 적분하면

$0$ 입니다.

$g (x) = 0 + C$

단계 10.4

$0$ 를

$C$ 에 더합니다.

$g (x) = C$

단계 11

$f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + g (x)$ 에서

$g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + C$

단계 12

$f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + C$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = y \sin (x) + x^{2} e^{y} - y + C$