미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = - x^{2} + y$ , $y (0) = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $y$ 를 뺍니다.

$\frac{d y}{d x} - y = - x^{2}$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = - 1$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int - 1 d x}$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{- x + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{- x}$

단계 3

각 항에 적분 인수 $e^{- x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 항에 $e^{- x}$ 을 곱합니다.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (- x^{2})$

단계 3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (- x^{2})$

단계 3.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = - e^{- x} x^{2}$

단계 3.4

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = - e^{- x} x^{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = - x^{2} e^{- x}$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = - x^{2} e^{- x}$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int - x^{2} e^{- x} d x$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$e^{- x} y = \int - x^{2} e^{- x} d x$

단계 7

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- x} y = - \int x^{2} e^{- x} d x$

단계 7.2

$u = x^{2}$ 이고 $d v = e^{- x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 x) d x)$

단계 7.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) - \int - 2 e^{- x} x d x)$

단계 7.4

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} x d x))$

단계 7.5

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} x d x)$

단계 7.6

$u = x$ 이고 $d v = e^{- x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x))$

단계 7.7

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x))$

단계 7.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x))$

단계 7.8.2

$\int e^{- x} d x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x))$

단계 7.9

먼저 $u = - x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d x$ 이므로 $- d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.9.1

$u = - x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.9.1.1

$- x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- x]$

단계 7.9.1.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x]$

단계 7.9.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 1 \cdot 1$

단계 7.9.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1$

단계 7.9.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u))$

단계 7.10

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u))$

단계 7.11

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)))$

단계 7.12

$- (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)))$ 을 $- (- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{u}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{- x} y = - (- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{u}) + C$

단계 7.13

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$e^{- x} y = - (- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x}) + C$

단계 7.14

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.14.1

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{- x} y = - (- x^{2} e^{- x}) - (- 2 x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

단계 7.14.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.14.2.1

$- (- x^{2} e^{- x})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.14.2.1.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{- x} y = 1 (x^{2} e^{- x}) - (- 2 x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

단계 7.14.2.1.2

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} - (- 2 x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

단계 7.14.2.2

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 (x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

단계 7.14.2.3

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 (x e^{- x}) + 2 e^{- x} + C$

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + C$

단계 8

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + C$ 의 각 항을 $e^{- x}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + C$ 의 각 항을 $e^{- x}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

단계 8.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$e^{- x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

단계 8.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

단계 8.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1

$e^{- x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

단계 8.3.1.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = x^{2} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

단계 8.3.1.2

$e^{- x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y = x^{2} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

단계 8.3.1.2.2

$2 x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = x^{2} + 2 x + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

단계 8.3.1.3

$e^{- x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$y = x^{2} + 2 x + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

단계 8.3.1.3.2

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{C}{e^{- x}}$

단계 9

초기 조건을 활용하여 $y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{C}{e^{- x}}$ 에서 $x$ 에 $0$ 을, $y$ 에 $0$ 를 대입하여 $C$ 값을 구합니다.

$0 = 0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}}$

단계 10

$C$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$

단계 10.2

$0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$

단계 10.2.1.2

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$

단계 10.2.1.3

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$0 + 0 + 2 + \frac{C}{1} = 0$

단계 10.2.1.4

$C$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$0 + 0 + 2 + C = 0$

단계 10.2.2

$0 + 0 + 2 + C$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0 + 2 + C = 0$

단계 10.2.2.2

$0$ 를 $2$ 에 더합니다.

$2 + C = 0$

단계 10.3

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$C = - 2$

단계 11

$y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{C}{e^{- x}}$ 의 $C$ 에 $- 2$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$C$ 에 $- 2$ 를 대입합니다.

$y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{- 2}{e^{- x}}$

단계 11.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = x^{2} + 2 x + 2 - \frac{2}{e^{- x}}$