미적분 예제

$2 (y + 3) d x - x (y d) y = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $2 (y + 3) d x$ 를 뺍니다.

$- x y d y = - 2 (y + 3) d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{x (y + 3)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x (y + 3)} (- x y) d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- \frac{1}{x (y + 3)} (x y) d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

단계 3.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$- \frac{1}{x (y + 3)}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 1}{x (y + 3)} (x y) d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

단계 3.2.2

$x y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1}{x (y + 3)} (x (y)) d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

단계 3.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1}{x (y + 3)} (x y) d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

단계 3.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{y + 3} y d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

단계 3.3

$\frac{- 1}{y + 3}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{- y}{y + 3} d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

단계 3.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{y}{y + 3} d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

단계 3.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- \frac{y}{y + 3} d y = - 2 \frac{1}{x (y + 3)} (y + 3) d x$

단계 3.6

$- 2$ 와 $\frac{1}{x (y + 3)}$ 을 묶습니다.

$- \frac{y}{y + 3} d y = \frac{- 2}{x (y + 3)} (y + 3) d x$

단계 3.7

$y + 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

$x (y + 3)$ 에서 $y + 3$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{y}{y + 3} d y = \frac{- 2}{(y + 3) x} (y + 3) d x$

단계 3.7.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{y}{y + 3} d y = \frac{- 2}{(y + 3) x} (y + 3) d x$

단계 3.7.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{y}{y + 3} d y = \frac{- 2}{x} d x$

단계 3.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{y}{y + 3} d y = - \frac{2}{x} d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

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단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int - \frac{y}{y + 3} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

단계 4.2

좌변을 적분합니다.

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단계 4.2.1

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \frac{y}{y + 3} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

단계 4.2.2

$y$ 을 $y + 3$ 로 나눕니다.

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단계 4.2.2.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$y$

$3$

$y$

$0$

단계 4.2.2.2

피제수 $y$ 의 고차항을 제수 $y$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$1$
	$y$	+	$3$		$y$	+	$0$

단계 4.2.2.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$3$

단계 4.2.2.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $y + 3$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$3$

단계 4.2.2.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$3$
					-	$3$

단계 4.2.2.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$- \int 1 - \frac{3}{y + 3} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

단계 4.2.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$- (\int d y + \int - \frac{3}{y + 3} d y) = \int - \frac{2}{x} d x$

단계 4.2.4

상수 규칙을 적용합니다.

$- (y + C_{1} + \int - \frac{3}{y + 3} d y) = \int - \frac{2}{x} d x$

단계 4.2.5

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (y + C_{1} - \int \frac{3}{y + 3} d y) = \int - \frac{2}{x} d x$

단계 4.2.6

$3$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (y + C_{1} - (3 \int \frac{1}{y + 3} d y)) = \int - \frac{2}{x} d x$

단계 4.2.7

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- (y + C_{1} - 3 \int \frac{1}{y + 3} d y) = \int - \frac{2}{x} d x$

단계 4.2.8

먼저 $u = y + 3$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 4.2.8.1

$u = y + 3$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.8.1.1

$y + 3$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

단계 4.2.8.1.2

합의 법칙에 의해 $y + 3$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

단계 4.2.8.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

단계 4.2.8.1.4

$3$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$1 + 0$

단계 4.2.8.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 4.2.8.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- (y + C_{1} - 3 \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{2}{x} d x$

단계 4.2.9

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$- (y + C_{1} - 3 (\ln (| u |) + C_{2})) = \int - \frac{2}{x} d x$

단계 4.2.10

간단히 합니다.

$- (y - 3 \ln (| u |)) + C_{3} = \int - \frac{2}{x} d x$

단계 4.2.11

$u$ 를 모두 $y + 3$ 로 바꿉니다.

$- (y - 3 \ln (| y + 3 |)) + C_{3} = \int - \frac{2}{x} d x$

단계 4.2.12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.12.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- y - (- 3 \ln (| y + 3 |)) + C_{3} = \int - \frac{2}{x} d x$

단계 4.2.12.2

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = \int - \frac{2}{x} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

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단계 4.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = - \int \frac{2}{x} d x$

단계 4.3.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

단계 4.3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = - 2 \int \frac{1}{x} d x$

단계 4.3.4

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = - 2 (\ln (| x |) + C_{4})$

단계 4.3.5

간단히 합니다.

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = - 2 \ln (| x |) + C_{4}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) = - 2 \ln (| x |) + C$