미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = x - \sin (x)$ , $y (π) = 3$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = (x - \sin (x)) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int x - \sin (x) d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int x - \sin (x) d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y + C_{1} = \int x d x + \int - \sin (x) d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - \sin (x) d x$

단계 2.3.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - \int \sin (x) d x$

단계 2.3.4

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \cos (x)$ 입니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

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단계 2.3.5.1

간단히 합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - - \cos (x) + C_{4}$

단계 2.3.5.2

간단히 합니다.

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단계 2.3.5.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + 1 \cos (x) + C_{4}$

단계 2.3.5.2.2

$\cos (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + K$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + K$ 에서 $x$ 에 $π$ 을, $y$ 에 $3$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$3 = \frac{1}{2} π^{2} + \cos (π) + K$

단계 4

$K$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{2} \cdot π^{2} + \cos (π) + K = 3$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \cdot π^{2} + \cos (π) + K = 3$

단계 4.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $π^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{π^{2}}{2} + \cos (π) + K = 3$

단계 4.2.1.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$\frac{π^{2}}{2} - \cos (0) + K = 3$

단계 4.2.1.3

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{π^{2}}{2} - 1 \cdot 1 + K = 3$

단계 4.2.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{π^{2}}{2} - 1 + K = 3$

단계 4.3

$K$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 4.3.1

방정식의 양변에서 $\frac{π^{2}}{2}$ 를 뺍니다.

$- 1 + K = 3 - \frac{π^{2}}{2}$

단계 4.3.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$K = 3 - \frac{π^{2}}{2} + 1$

단계 4.3.3

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$K = - \frac{π^{2}}{2} + 4$

단계 5

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + K$ 의 $K$ 에 $- \frac{π^{2}}{2} + 4$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$K$ 에 $- \frac{π^{2}}{2} + 4$ 를 대입합니다.

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) - \frac{π^{2}}{2} + 4$

단계 5.2

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \cos (x) - \frac{π^{2}}{2} + 4$