미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}}$ , $y (0) = 0$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = 4 \int x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

단계 2.3.2

먼저 $u = x^{2} + 8$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$u = x^{2} + 8$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

$x^{2} + 8$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

단계 2.3.2.1.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

단계 2.3.2.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [8]$

단계 2.3.2.1.4

$8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$2 x + 0$

단계 2.3.2.1.5

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 2.3.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = 4 \int u^{- \frac{1}{3}} \frac{1}{2} d u$

단계 2.3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$u^{- \frac{1}{3}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = 4 \int \frac{u^{- \frac{1}{3}}}{2} d u$

단계 2.3.3.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $u^{- \frac{1}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{2 u^{\frac{1}{3}}} d u$

단계 2.3.4

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u)$

단계 2.3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{4}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

단계 2.3.5.1.2

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

단계 2.3.5.1.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

단계 2.3.5.1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

단계 2.3.5.1.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y + C_{1} = \frac{2}{1} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

단계 2.3.5.1.2.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

단계 2.3.5.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.2.1

$u^{\frac{1}{3}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$y + C_{1} = 2 \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

단계 2.3.5.2.2

${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y + C_{1} = 2 \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

단계 2.3.5.2.2.2

$\frac{1}{3}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = 2 \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

단계 2.3.5.2.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y + C_{1} = 2 \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

단계 2.3.6

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{3}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} = 2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2})$

단계 2.3.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1

$2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2})$ 을 $2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = 2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

단계 2.3.7.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.2.1

$2$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

단계 2.3.7.2.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \frac{6}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

단계 2.3.7.2.3

$6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.2.3.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

단계 2.3.7.2.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.2.3.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

단계 2.3.7.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

단계 2.3.7.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y + C_{1} = \frac{3}{1} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

단계 2.3.7.2.3.2.4

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y + C_{1} = 3 u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

단계 2.3.8

$u$ 를 모두 $x^{2} + 8$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$ 에서 $x$ 에 $0$ 을, $y$ 에 $0$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$0 = 3 {(0^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$

단계 4

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$3 {(0^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$3 {(0^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K = 0$

단계 4.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$3 {(0 + 8)}^{\frac{2}{3}} + K = 0$

단계 4.2.2

$0$ 를 $8$ 에 더합니다.

$3 \cdot 8^{\frac{2}{3}} + K = 0$

단계 4.2.3

$8$ 을 $2^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}} + K = 0$

단계 4.2.4

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})} + K = 0$

단계 4.2.5

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})} + K = 0$

단계 4.2.5.2

수식을 다시 씁니다.

$3 \cdot 2^{2} + K = 0$

단계 4.2.6

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$3 \cdot 4 + K = 0$

단계 4.2.7

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$12 + K = 0$

단계 4.3

방정식의 양변에서 $12$ 를 뺍니다.

$K = - 12$

단계 5

$y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$ 의 $K$ 에 $- 12$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$K$ 에 $- 12$ 를 대입합니다.

$y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} - 12$