미적분 예제

$\frac{d y}{d x} + y \tan (x) = 0$

단계 1

변수를 분리합니다.

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단계 1.1

방정식의 양변에서 $y \tan (x)$ 를 뺍니다.

$\frac{d y}{d x} = - y \tan (x)$

단계 1.2

양변에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- y \tan (x))$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} (y \tan (x))$

단계 1.3.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.2.1

$- \frac{1}{y}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \tan (x))$

단계 1.3.2.2

$y \tan (x)$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y (\tan (x)))$

단계 1.3.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \tan (x))$

단계 1.3.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \tan (x)$

단계 1.4

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = - \tan (x) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \tan (x) d x$

단계 2.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \tan (x) d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \tan (x) d x$

단계 2.3.2

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \sec (x) |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| \sec (x) |) + C_{2})$

단계 2.3.3

간단히 합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| \sec (x) |) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y |) = - \ln (| \sec (x) |) + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| y |) + \ln (| \sec (x) |) = C$

단계 3.2

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\ln (| y | | \sec (x) |) = C$

단계 3.3

절댓값을 곱하려면 각 절댓값 내부의 항을 곱합니다.

$\ln (| y \sec (x) |) = C$

단계 3.4

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| y \sec (x) |)} = e^{C}$

단계 3.5

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| y \sec (x) |) = C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{C} = | y \sec (x) |$

단계 3.6

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.6.1

$| y \sec (x) | = e^{C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| y \sec (x) | = e^{C}$

단계 3.6.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y \sec (x) = \pm e^{C}$

단계 3.6.3

$y \sec (x) = \pm e^{C}$ 의 각 항을 $\sec (x)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.6.3.1

$y \sec (x) = \pm e^{C}$ 의 각 항을 $\sec (x)$ 로 나눕니다.

$\frac{y \sec (x)}{\sec (x)} = \frac{\pm e^{C}}{\sec (x)}$

단계 3.6.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.6.3.2.1

$\sec (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.6.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y \sec (x)}{\sec (x)} = \frac{\pm e^{C}}{\sec (x)}$

단계 3.6.3.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\pm e^{C}}{\sec (x)}$

단계 3.6.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.6.3.3.1

분수를 나눕니다.

$y = \frac{\pm e^{C}}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)}$

단계 3.6.3.3.2

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$y = \frac{\pm e^{C}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

단계 3.6.3.3.3

$\frac{1}{\cos (x)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$y = \frac{\pm e^{C}}{1} (1 \cos (x))$

단계 3.6.3.3.4

$\cos (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\pm e^{C}}{1} \cos (x)$

단계 3.6.3.3.5

$\pm e^{C}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = (\pm e^{C}) \cos (x)$

단계 3.6.3.3.6

$(\pm e^{C}) \cos (x)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = \cos (x) (\pm e^{C})$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \cos (x) C$