미적분 예제

$\frac{d y}{d t} + 2 y = 1$ , $y (0) = \frac{2}{5}$

단계 1

적분 인수는 $e^{\int P (t) d t}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (t) = 2$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

적분을 구합니다.

$e^{\int 2 d t}$

단계 1.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{2 t + C}$

단계 1.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{2 t}$

단계 2

각 항에 적분 인수 $e^{2 t}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 항에 $e^{2 t}$ 을 곱합니다.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + e^{2 t} (2 y) = e^{2 t} \cdot 1$

단계 2.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t} \cdot 1$

단계 2.3

$e^{2 t}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t}$

단계 2.4

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 y e^{2 t} = e^{2 t}$

단계 3

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d t} [e^{2 t} y] = e^{2 t}$

단계 4

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d t} [e^{2 t} y] d t = \int e^{2 t} d t$

단계 5

좌변을 적분합니다.

$e^{2 t} y = \int e^{2 t} d t$

단계 6

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

먼저 $u = 2 t$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d t$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$u = 2 t$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1

$2 t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

단계 6.1.1.2

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

단계 6.1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 6.1.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 6.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{2 t} y = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

단계 6.2

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{2 t} y = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

단계 6.3

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

단계 6.4

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

단계 6.5

간단히 합니다.

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{u} + C$

단계 6.6

$u$ 를 모두 $2 t$ 로 바꿉니다.

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{2 t} + C$

단계 7

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{2 t} + C$ 의 각 항을 $e^{2 t}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{2 t} + C$ 의 각 항을 $e^{2 t}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

단계 7.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$e^{2 t}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

단계 7.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

단계 7.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$e^{2 t}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

단계 7.3.1.2

$\frac{1}{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 t}}$

단계 8

초기 조건을 활용하여 $y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 t}}$ 에서 $t$ 에 $0$ 을, $y$ 에 $\frac{2}{5}$ 를 대입하여 $C$ 값을 구합니다.

$\frac{2}{5} = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}}$

단계 9

$C$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = \frac{2}{5}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = \frac{2}{5}$

단계 9.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0}} = \frac{2}{5}$

단계 9.2.1.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = \frac{2}{5}$

단계 9.2.2

$C$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{2} + C = \frac{2}{5}$

단계 9.3

$C$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

방정식의 양변에서 $\frac{1}{2}$ 를 뺍니다.

$C = \frac{2}{5} - \frac{1}{2}$

단계 9.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{2}{5}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$C = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

단계 9.3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$C = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

단계 9.3.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $10$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.4.1

$\frac{2}{5}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$C = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

단계 9.3.4.2

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$C = \frac{2 \cdot 2}{10} - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

단계 9.3.4.3

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$C = \frac{2 \cdot 2}{10} - \frac{5}{2 \cdot 5}$

단계 9.3.4.4

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$C = \frac{2 \cdot 2}{10} - \frac{5}{10}$

단계 9.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$C = \frac{2 \cdot 2 - 5}{10}$

단계 9.3.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.3.6.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$C = \frac{4 - 5}{10}$

단계 9.3.6.2

$4$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$C = \frac{- 1}{10}$

단계 9.3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$C = - \frac{1}{10}$

단계 10

$y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 t}}$ 의 $C$ 에 $- \frac{1}{10}$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 10.1

$C$ 에 $- \frac{1}{10}$ 를 대입합니다.

$y = \frac{1}{2} + \frac{- \frac{1}{10}}{e^{2 t}}$

단계 10.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{e^{2 t}}$

단계 10.2.2

$\frac{1}{e^{2 t}}$ 에 $\frac{1}{10}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{e^{2 t} \cdot 10}$

단계 10.2.3

$e^{2 t}$ 의 왼쪽으로 $10$ 이동하기

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{10 e^{2 t}}$