미적분 예제

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = x^{2}$ , $y (1) = \frac{2}{5}$

단계 1

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = \frac{2}{x}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

적분을 구합니다.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

단계 1.2

$\frac{2}{x}$ 를 적분합니다.

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단계 1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

단계 1.2.2

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

단계 1.2.3

간단히 합니다.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

단계 1.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{2 \ln (x)}$

단계 1.4

로그 멱의 법칙을 사용합니다.

$e^{\ln (x^{2})}$

단계 1.5

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$x^{2}$

단계 2

각 항에 적분 인수 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 2.1

각 항에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} x^{2}$

단계 2.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1

$\frac{2}{x}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2}$

단계 2.2.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2}$

단계 2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2}$

단계 2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} x^{2}$

단계 2.2.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} x^{2}$

단계 2.3

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2 + 2}$

단계 2.3.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{4}$

단계 3

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x^{4}$

단계 4

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x^{4} d x$

단계 5

좌변을 적분합니다.

$x^{2} y = \int x^{4} d x$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} x^{5}$ 가 됩니다.

$x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$

단계 7

$x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$ 의 각 항을 $x^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$ 의 각 항을 $x^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 7.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 7.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 7.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 7.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.3.1.1

$x^{5}$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.3.1.1.1

$\frac{1}{5} x^{5}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 7.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

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단계 7.3.1.1.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 7.3.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 7.3.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{3}}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 7.3.1.1.2.4

$\frac{1}{5} x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{1}{5} x^{3} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 7.3.1.2

$\frac{1}{5}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 8

초기 조건을 활용하여 $y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$ 에서 $x$ 에 $1$ 을, $y$ 에 $\frac{2}{5}$ 를 대입하여 $C$ 값을 구합니다.

$\frac{2}{5} = \frac{1^{3}}{5} + \frac{C}{1^{2}}$

단계 9

$C$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.1

$\frac{1^{3}}{5} + \frac{C}{1^{2}} = \frac{2}{5}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{1^{3}}{5} + \frac{C}{1^{2}} = \frac{2}{5}$

단계 9.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 9.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{5} + \frac{C}{1^{2}} = \frac{2}{5}$

단계 9.2.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{5} + \frac{C}{1} = \frac{2}{5}$

단계 9.2.3

$C$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{5} + C = \frac{2}{5}$

단계 9.3

$C$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 9.3.1

방정식의 양변에서 $\frac{1}{5}$ 를 뺍니다.

$C = \frac{2}{5} - \frac{1}{5}$

단계 9.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$C = \frac{2 - 1}{5}$

단계 9.3.3

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$C = \frac{1}{5}$

단계 10

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$ 의 $C$ 에 $\frac{1}{5}$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 10.1

$C$ 에 $\frac{1}{5}$ 를 대입합니다.

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{\frac{1}{5}}{x^{2}}$

단계 10.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 10.2.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

단계 10.2.2

조합합니다.

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{1 \cdot 1}{5 x^{2}}$

단계 10.2.3

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{1}{5 x^{2}}$