미적분 예제

$(2 y + t) d y + y d t = 0$

단계 1

완전미분 방정식 해법에 맞도록 미분 방정식을 다시 작성합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

다시 씁니다.

$y d t + (2 y + t) d y = 0$

단계 2

$M (x, y) = y$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

단계 3

$N (x, y) = 2 y + t$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 3.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y + t]$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $2 y + t$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [t]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [t]$

단계 3.3

$2 y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2 y$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [t]$

단계 3.4

$t$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $t$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $t$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

단계 3.5

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

단계 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $1$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$1 = 0$

단계 4.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$1 = 0$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 5

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

단계 5.2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$\frac{0 - 1}{M}$

단계 5.3

$M$ 에 $y$ 를 대입합니다.

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단계 5.3.1

$M$ 에 $y$ 를 대입합니다.

$\frac{0 - 1}{y}$

단계 5.3.2

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{- 1}{y}$

단계 5.3.3

$M$ 에 $y$ 를 대입합니다.

$- \frac{1}{y}$

단계 5.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

단계 6

적분 $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ 을 구합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

단계 6.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

단계 6.3

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

단계 6.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.4.1

$- 1$ 를 로그 안으로 옮겨 $- \ln (| y |)$ 을 간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

단계 6.4.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

단계 6.4.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

단계 7

$y d t + (2 y + t) d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $\frac{1}{y}$ 를 곱합니다.

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단계 7.1

$y$ 에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$y \frac{1}{y} d t + (2 y + t) d y = 0$

단계 7.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.1

공약수로 약분합니다.

$y \frac{1}{y} d t + (2 y + t) d y = 0$

단계 7.2.2

수식을 다시 씁니다.

$1 d t + (2 y + t) d y = 0$

단계 7.3

$2 y + t$ 에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$1 d t + (2 y + t) \frac{1}{y} d y = 0$

단계 7.4

$2 y + t$ 에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$1 d t + \frac{2 y + t}{y} d y = 0$

단계 8

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int d x$

단계 9

$M (x, y) = 1$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 9.1

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = x + C$

단계 10

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = x + g (y)$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2 y + t}{y}$

단계 12

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

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단계 12.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [x + g (y)] = \frac{2 y + t}{y}$

단계 12.2

합의 법칙에 의해 $x + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y + t}{y}$

단계 12.3

$x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y + t}{y}$

단계 12.4

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y + t}{y}$

단계 12.5

$0$ 를 $\frac{d g}{d y}$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y + t}{y}$

단계 13

$\frac{2 y + t}{y}$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

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단계 13.1

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y + t}{y}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{2 y + t}{y} d y$

단계 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int \frac{2 y + t}{y} d y$

단계 13.3

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$g (y) = \int \frac{2 y}{y} + \frac{t}{y} d y$

단계 13.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$g (y) = \int \frac{2 y}{y} d y + \int \frac{t}{y} d y$

단계 13.5

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 13.5.1

공약수로 약분합니다.

$g (y) = \int \frac{2 y}{y} d y + \int \frac{t}{y} d y$

단계 13.5.2

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$g (y) = \int 2 d y + \int \frac{t}{y} d y$

단계 13.6

상수 규칙을 적용합니다.

$g (y) = 2 y + C + \int \frac{t}{y} d y$

단계 13.7

$t$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $t$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (y) = 2 y + C + t \int \frac{1}{y} d y$

단계 13.8

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$g (y) = 2 y + C + t (\ln (| y |) + C)$

단계 13.9

간단히 합니다.

$g (y) = 2 y + t \ln (| y |) + C$

단계 14

$f (x, y) = x + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = x + 2 y + t \ln (| y |) + C$