미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 e^{2 x}}{e^{y}}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $e^{y}$ 을 곱합니다.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{6 e^{2 x}}{e^{y}}$

단계 1.2

$e^{y}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{6 e^{2 x}}{e^{y}}$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = 6 e^{2 x}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$e^{y} d y = 6 e^{2 x} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int e^{y} d y = \int 6 e^{2 x} d x$

단계 2.2

$e^{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $e^{y}$ 입니다.

$e^{y} + C_{1} = \int 6 e^{2 x} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{y} + C_{1} = 6 \int e^{2 x} d x$

단계 2.3.2

먼저 $u = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$u = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.3.2.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 2.3.2.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 2.3.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{y} + C_{1} = 6 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

단계 2.3.3

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{y} + C_{1} = 6 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

단계 2.3.4

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{y} + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ 와 $6$ 을 묶습니다.

$e^{y} + C_{1} = \frac{6}{2} \int e^{u} d u$

단계 2.3.5.2

$6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} \int e^{u} d u$

단계 2.3.5.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int e^{u} d u$

단계 2.3.5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

단계 2.3.5.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$e^{y} + C_{1} = \frac{3}{1} \int e^{u} d u$

단계 2.3.5.2.2.4

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{y} + C_{1} = 3 \int e^{u} d u$

단계 2.3.6

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$e^{y} + C_{1} = 3 (e^{u} + C_{2})$

단계 2.3.7

간단히 합니다.

$e^{y} + C_{1} = 3 e^{u} + C_{2}$

단계 2.3.8

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{y} + C_{1} = 3 e^{2 x} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$e^{y} = 3 e^{2 x} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{y}) = \ln (3 e^{2 x} + K)$

단계 3.2

왼편을 확장합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$y$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{y})$ 을 전개합니다.

$y \ln (e) = \ln (3 e^{2 x} + K)$

단계 3.2.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$y \cdot 1 = \ln (3 e^{2 x} + K)$

단계 3.2.3

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \ln (3 e^{2 x} + K)$