미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = 4 x + y$

단계 1

방정식의 양변에서 $y$ 를 뺍니다.

$\frac{d y}{d x} - y = 4 x$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = - 1$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int - 1 d x}$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{- x + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{- x}$

단계 3

각 항에 적분 인수 $e^{- x}$ 을 곱합니다.

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단계 3.1

각 항에 $e^{- x}$ 을 곱합니다.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (4 x)$

단계 3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (4 x)$

단계 3.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 4 e^{- x} x$

단계 3.4

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 4 e^{- x} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = 4 x e^{- x}$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = 4 x e^{- x}$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int 4 x e^{- x} d x$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$e^{- x} y = \int 4 x e^{- x} d x$

단계 7

우변을 적분합니다.

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단계 7.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- x} y = 4 \int x e^{- x} d x$

단계 7.2

$u = x$ 이고 $d v = e^{- x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$e^{- x} y = 4 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

단계 7.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- x} y = 4 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

단계 7.4

간단히 합니다.

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단계 7.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{- x} y = 4 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

단계 7.4.2

$\int e^{- x} d x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{- x} y = 4 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

단계 7.5

먼저 $u = - x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d x$ 이므로 $- d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 7.5.1

$u = - x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 7.5.1.1

$- x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- x]$

단계 7.5.1.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x]$

단계 7.5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 1 \cdot 1$

단계 7.5.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1$

단계 7.5.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{- x} y = 4 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

단계 7.6

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- x} y = 4 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

단계 7.7

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$e^{- x} y = 4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$

단계 7.8

$4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$ 을 $4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{- x} y = 4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C$

단계 7.9

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$e^{- x} y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$

단계 8

$e^{- x} y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$ 의 각 항을 $e^{- x}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 8.1

$e^{- x} y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$ 의 각 항을 $e^{- x}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

단계 8.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$e^{- x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

단계 8.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

단계 8.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 8.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

단계 8.3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{4 (- x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

단계 8.3.2.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 4 (x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

단계 8.3.2.3

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 4 x e^{- x} - 4 e^{- x} + C}{e^{- x}}$

단계 8.3.3

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 8.3.3.1

$- 4 x e^{- x}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - 4 e^{- x} + C}{e^{- x}}$

단계 8.3.3.2

$- 4 e^{- x}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

단계 8.3.3.3

$- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

단계 8.3.3.4

$C$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- C)}{e^{- x}}$

단계 8.3.3.5

$- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- C)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - C)}{e^{- x}}$

단계 8.3.3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 8.3.3.6.1

$- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - C)$ 을 $- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - C)$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - C)}{e^{- x}}$

단계 8.3.3.6.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - C}{e^{- x}}$