미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = (1 + y^{2}) \tan (x)$

단계 1

변수를 분리합니다.

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단계 1.1

양변에 $\frac{1}{1 + y^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) \tan (x))$

단계 1.2

$1 + y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.1

$(1 + y^{2}) \tan (x)$ 에서 $1 + y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) (\tan (x)))$

단계 1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) \tan (x))$

단계 1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \tan (x)$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \tan (x) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \tan (x) d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

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단계 2.2.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \tan (x) d x$

단계 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\arctan (y) + C_{1}$ 입니다.

$\arctan (y) + C_{1} = \int \tan (x) d x$

단계 2.3

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \sec (x) |)$ 입니다.

$\arctan (y) + C_{1} = \ln (| \sec (x) |) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\arctan (y) = \ln (| \sec (x) |) + C$

단계 3

방정식의 양변에서 역 아크탄젠트를 취하여 아크탄젠트 안의 $y$ 을 꺼냅니다.

$y = \tan (\ln (| \sec (x) |) + C)$