미적분 예제

$\frac{d v}{d t} = \frac{6}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t)$ , $v (0) = 3$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d v = (\frac{6}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t)) d t$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d v = \int \frac{6}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t) d t$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$v + C_{1} = \int \frac{6}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t) d t$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$v + C_{1} = \int \frac{6}{1 + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

단계 2.3.2

$6$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$v + C_{1} = 6 \int \frac{1}{1 + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

단계 2.3.3

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$v + C_{1} = 6 \int \frac{1}{1^{2} + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

단계 2.3.4

$\frac{1}{1^{2} + t^{2}}$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\arctan (t) + C_{2}$ 입니다.

$v + C_{1} = 6 (\arctan (t) + C_{2}) + \int \sec^{2} (t) d t$

단계 2.3.5

$\tan (t)$ 의 도함수는 $\sec^{2} (t)$ 이므로, $\sec^{2} (t)$ 의 적분값은 $\tan (t)$ 이 됩니다.

$v + C_{1} = 6 (\arctan (t) + C_{2}) + \tan (t) + C_{3}$

단계 2.3.6

간단히 합니다.

$v + C_{1} = 6 \arctan (t) + \tan (t) + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$v = 6 \arctan (t) + \tan (t) + K$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $v = 6 \arctan (t) + \tan (t) + K$ 에서 $t$ 에 $0$ 을, $v$ 에 $3$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$3 = 6 \arctan (0) + \tan (0) + K$

단계 4

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$6 \arctan (0) + \tan (0) + K = 3$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$6 \arctan (0) + \tan (0) + K = 3$

단계 4.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$6 \arctan (0) + \tan (0) + K$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1.1

$\arctan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$6 \cdot 0 + \tan (0) + K = 3$

단계 4.2.1.1.2

$6$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + \tan (0) + K = 3$

단계 4.2.1.1.3

$\tan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$0 + 0 + K = 3$

단계 4.2.1.2

$0 + 0 + K$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0 + K = 3$

단계 4.2.1.2.2

$0$ 를 $K$ 에 더합니다.

$K = 3$

단계 5

$v = 6 \arctan (t) + \tan (t) + K$ 의 $K$ 에 $3$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$K$ 에 $3$ 를 대입합니다.

$v = 6 \arctan (t) + \tan (t) + 3$