미적분 예제

$\frac{d r}{d t} = 6 t + \sec^{2} (t)$ , $r (- π) = 5$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d r = (6 t + \sec^{2} (t)) d t$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d r = \int 6 t + \sec^{2} (t) d t$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$r + C_{1} = \int 6 t + \sec^{2} (t) d t$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$r + C_{1} = \int 6 t d t + \int \sec^{2} (t) d t$

단계 2.3.2

$6$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$r + C_{1} = 6 \int t d t + \int \sec^{2} (t) d t$

단계 2.3.3

멱의 법칙에 의해 $t$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} t^{2}$ 가 됩니다.

$r + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \sec^{2} (t) d t$

단계 2.3.4

$\tan (t)$ 의 도함수는 $\sec^{2} (t)$ 이므로, $\sec^{2} (t)$ 의 적분값은 $\tan (t)$ 이 됩니다.

$r + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \tan (t) + C_{3}$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

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단계 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ 와 $t^{2}$ 을 묶습니다.

$r + C_{1} = 6 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + \tan (t) + C_{3}$

단계 2.3.5.2

간단히 합니다.

$r + C_{1} = 3 t^{2} + \tan (t) + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$r = 3 t^{2} + \tan (t) + K$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $r = 3 t^{2} + \tan (t) + K$ 에서 $t$ 에 $- π$ 을, $r$ 에 $5$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$5 = 3 {(- π)}^{2} + \tan (- π) + K$

단계 4

$K$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.1

$3 {(- π)}^{2} + \tan (- π) + K = 5$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$3 {(- π)}^{2} + \tan (- π) + K = 5$

단계 4.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$3 {(- π)}^{2} + \tan (- π) + K$ 을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1.1

$- π$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$3 ({(- 1)}^{2} π^{2}) + \tan (- π) + K = 5$

단계 4.2.1.1.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$3 (1 π^{2}) + \tan (- π) + K = 5$

단계 4.2.1.1.3

$π^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 π^{2} + \tan (- π) + K = 5$

단계 4.2.1.1.4

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 탄젠트가 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$3 π^{2} - \tan (0) + K = 5$

단계 4.2.1.1.5

$\tan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$3 π^{2} - 0 + K = 5$

단계 4.2.1.1.6

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$3 π^{2} + 0 + K = 5$

단계 4.2.1.2

$3 π^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 π^{2} + K = 5$

단계 4.3

방정식의 양변에서 $3 π^{2}$ 를 뺍니다.

$K = 5 - 3 π^{2}$

단계 5

$r = 3 t^{2} + \tan (t) + K$ 의 $K$ 에 $5 - 3 π^{2}$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$K$ 에 $5 - 3 π^{2}$ 를 대입합니다.

$r = 3 t^{2} + \tan (t) + 5 - 3 π^{2}$