미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{(x + 7) y^{2}}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + 7} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

단계 1.2

양변에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{1}{x + 7} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$\frac{1}{x + 7}$ 에 $\frac{1}{y^{2}}$ 을 곱합니다.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1}{(x + 7) y^{2}}$

단계 1.3.2

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

$(x + 7) y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1}{y^{2} (x + 7)}$

단계 1.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1}{y^{2} (x + 7)}$

단계 1.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + 7}$

단계 1.4

식을 다시 씁니다.

$y^{2} d y = \frac{1}{x + 7} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y^{2} d y = \int \frac{1}{x + 7} d x$

단계 2.2

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x + 7} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

먼저 $u = x + 7$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$u = x + 7$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.1

$x + 7$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 7]$

단계 2.3.1.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 2.3.1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [7]$

단계 2.3.1.1.4

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$1 + 0$

단계 2.3.1.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 2.3.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

단계 2.3.2

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

단계 2.3.3

$u$ 를 모두 $x + 7$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (| x + 7 |) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{3} y^{3} = \ln (| x + 7 |) + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $3$ 을 곱합니다.

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\ln (| x + 7 |) + C)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} y^{3})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ 와 $y^{3}$ 을 묶습니다.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\ln (| x + 7 |) + C)$

단계 3.2.1.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\ln (| x + 7 |) + C)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{3} = 3 (\ln (| x + 7 |) + C)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{3} = 3 \ln (| x + 7 |) + 3 C$

단계 3.3

$3$ 를 로그 안으로 옮겨 $3 \ln (| x + 7 |)$ 을 간단히 합니다.

$y^{3} = \ln ({| x + 7 |}^{3}) + 3 C$

단계 3.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \sqrt[3]{\ln ({| x + 7 |}^{3}) + 3 C}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \sqrt[3]{\ln ({| x + 7 |}^{3}) + C}$