미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y^{2} + x y}{x^{2}}$

단계 1

$\frac{y}{x}$ 의 함수로 미분 방정식을 다시 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{3 y^{2} + x y}{x^{2}}$ 를 나누어 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

분수 $\frac{3 y^{2} + x y}{x^{2}}$ 를 두 개의 분수로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}}$

단계 1.1.2

$x$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$x y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y^{2}}{x^{2}} + \frac{x (y)}{x^{2}}$

단계 1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y^{2}}{x^{2}} + \frac{x (y)}{x \cdot x}$

단계 1.1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x \cdot x}$

단계 1.1.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y^{2}}{x^{2}} + \frac{y}{x}$

단계 1.2

$\frac{3 y^{2}}{x^{2}}$ 의 $\frac{y}{x}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$\frac{3 y^{2}}{x^{2}}$ 에서 $\frac{y}{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{3 y}{x} + \frac{y}{x}$

단계 1.2.2

$\frac{y}{x}$ 와 $\frac{3 y}{x}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{x} \cdot \frac{y}{x} + \frac{y}{x}$

단계 1.3

$\frac{3 y}{x}$ 의 $\frac{y}{x}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$\frac{3 y}{x}$ 에서 $\frac{y}{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot 3 \frac{y}{x} + \frac{y}{x}$

단계 1.3.2

$\frac{y}{x}$ 와 $3$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x} + \frac{y}{x}$

단계 2

$V = \frac{y}{x}$ 라고 두고, $V$ 를 $\frac{y}{x}$ 에 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot V \cdot V + V$

단계 3

$V = \frac{y}{x}$ 을 $y$ 에 대해 풉니다.

$y = V x$

단계 4

곱의 미분 법칙을 사용해 $x$ 에 대하여 $y = V x$ 의 도함수를 구합니다.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

단계 5

$\frac{d y}{d x}$ 에 $x \frac{d V}{d x} + V$ 를 대입합니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 \cdot V \cdot V + V$

단계 6

치환 미분 방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1

지수를 더하여 $V$ 에 $V$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1.1

$V$ 를 옮깁니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 \cdot (V \cdot V) + V$

단계 6.1.1.1.2

$V$ 에 $V$ 을 곱합니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 \cdot V^{2} + V$

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 V^{2} + V$

단계 6.1.1.2

$\frac{d V}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.1

방정식의 양변에서 $V$ 를 뺍니다.

$x \frac{d V}{d x} = 3 V^{2} + V - V$

단계 6.1.1.2.2

$3 V^{2} + V - V$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.2.1

$V$ 에서 $V$ 을 뺍니다.

$x \frac{d V}{d x} = 3 V^{2} + 0$

단계 6.1.1.2.2.2

$3 V^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x \frac{d V}{d x} = 3 V^{2}$

단계 6.1.1.3

$x \frac{d V}{d x} = 3 V^{2}$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.1

$x \frac{d V}{d x} = 3 V^{2}$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{3 V^{2}}{x}$

단계 6.1.1.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{3 V^{2}}{x}$

단계 6.1.1.3.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 V^{2}}{x}$

단계 6.1.2

양변에 $\frac{1}{V^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2}} \cdot \frac{3 V^{2}}{x}$

단계 6.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.3.1

조합합니다.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (3 V^{2})}{V^{2} x}$

단계 6.1.3.2

$V^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (3 V^{2})}{V^{2} x}$

단계 6.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \cdot (3)}{x}$

단계 6.1.3.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{3}{x}$

단계 6.1.4

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{V^{2}} d V = \frac{3}{x} d x$

단계 6.2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{V^{2}} d V = \int \frac{3}{x} d x$

단계 6.2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.1

$V^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int {(V^{2})}^{- 1} d V = \int \frac{3}{x} d x$

단계 6.2.2.1.2

${(V^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int V^{2 \cdot - 1} d V = \int \frac{3}{x} d x$

단계 6.2.2.1.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int V^{- 2} d V = \int \frac{3}{x} d x$

단계 6.2.2.2

멱의 법칙에 의해 $V^{- 2}$ 를 $V$ 에 대해 적분하면 $- V^{- 1}$ 가 됩니다.

$- V^{- 1} + C_{1} = \int \frac{3}{x} d x$

단계 6.2.2.3

$- V^{- 1} + C_{1}$ 을 $- \frac{1}{V} + C_{1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{V} + C_{1} = \int \frac{3}{x} d x$

단계 6.2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{V} + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.3.2

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$- \frac{1}{V} + C_{1} = 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

단계 6.2.3.3

간단히 합니다.

$- \frac{1}{V} + C_{1} = 3 \ln (| x |) + C_{2}$

단계 6.2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$- \frac{1}{V} = 3 \ln (| x |) + C$

단계 6.3

$V$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$3$ 를 로그 안으로 옮겨 $3 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

$- \frac{1}{V} = \ln ({| x |}^{3}) + C$

단계 6.3.2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$V, 1, 1$

단계 6.3.2.2

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$V$

단계 6.3.3

$- \frac{1}{V} = \ln ({| x |}^{3}) + C$ 의 각 항에 $V$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.1

$- \frac{1}{V} = \ln ({| x |}^{3}) + C$ 의 각 항에 $V$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{V} V = \ln ({| x |}^{3}) V + C V$

단계 6.3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.2.1

$V$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.2.1.1

$- \frac{1}{V}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 1}{V} V = \ln ({| x |}^{3}) V + C V$

단계 6.3.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1}{V} V = \ln ({| x |}^{3}) V + C V$

단계 6.3.3.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$- 1 = \ln ({| x |}^{3}) V + C V$

단계 6.3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.3.1

$\ln ({| x |}^{3}) V + C V$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- 1 = V \ln ({| x |}^{3}) + C V$

단계 6.3.4

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.4.1

$V \ln ({| x |}^{3}) + C V = - 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$V \ln ({| x |}^{3}) + C V = - 1$

단계 6.3.4.2

$V \ln ({| x |}^{3}) + C V$ 에서 $V$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.4.2.1

$C V$ 에서 $V$ 를 인수분해합니다.

$V \ln ({| x |}^{3}) + V C = - 1$

단계 6.3.4.2.2

$V \ln ({| x |}^{3}) + V C$ 에서 $V$ 를 인수분해합니다.

$V (\ln ({| x |}^{3}) + C) = - 1$

단계 6.3.4.3

$V (\ln ({| x |}^{3}) + C) = - 1$ 의 각 항을 $\ln ({| x |}^{3}) + C$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.4.3.1

$V (\ln ({| x |}^{3}) + C) = - 1$ 의 각 항을 $\ln ({| x |}^{3}) + C$ 로 나눕니다.

$\frac{V (\ln ({| x |}^{3}) + C)}{\ln ({| x |}^{3}) + C} = \frac{- 1}{\ln ({| x |}^{3}) + C}$

단계 6.3.4.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.4.3.2.1

$\ln ({| x |}^{3}) + C$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.4.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{V (\ln ({| x |}^{3}) + C)}{\ln ({| x |}^{3}) + C} = \frac{- 1}{\ln ({| x |}^{3}) + C}$

단계 6.3.4.3.2.1.2

$V$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$V = \frac{- 1}{\ln ({| x |}^{3}) + C}$

단계 6.3.4.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.4.3.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$V = - \frac{1}{\ln ({| x |}^{3}) + C}$

단계 7

$V$ 에 $\frac{y}{x}$ 를 대입합니다.

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{\ln ({| x |}^{3}) + C}$

단계 8

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{\ln ({| x |}^{3}) + C}$ 을 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

양변에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{x} x = - \frac{1}{\ln ({| x |}^{3}) + C} x$

단계 8.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y}{x} x = - \frac{1}{\ln ({| x |}^{3}) + C} x$

단계 8.2.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y = - \frac{1}{\ln ({| x |}^{3}) + C} x$

단계 8.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1

$x$ 와 $\frac{1}{\ln ({| x |}^{3}) + C}$ 을 묶습니다.

$y = - \frac{x}{\ln ({| x |}^{3}) + C}$